関数 $y = x^2 - 4x + a$ ($0 \le x \le 5$) の最大値が11であるように、定数 $a$ の値を定め、そのときの最小値を求める。

## 問題3

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 - 4x + a$ ($0 \le x \le 5$) の最大値が11であるように、定数 $a$ の値を定め、そのときの最小値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成する。

$y = x^2 - 4x + a = (x - 2)^2 - 4 + a$

これにより、関数の頂点が $(2, -4+a)$ であることがわかる。

また、定義域は $0 \le x \le 5$ である。

頂点のx座標 $x=2$ は定義域に含まれている。

定義域の端点での値を計算する。

$x = 0$ のとき、$y = a$

$x = 5$ のとき、$y = 25 - 20 + a = 5 + a$

最大値について考察する。

頂点のx座標が定義域に含まれているので、$x=5$ のとき最大値をとる。

$5+a = 11$

$a = 6$

最小値について考察する。

頂点のx座標が定義域に含まれているので、$x=2$ のとき最小値をとる。

最小値は $y = -4 + a = -4 + 6 = 2$

3. 最終的な答え

$a = 6$

最小値は2