問題は3つあります。 * 関数 $y = x^2 - 4x + a$ ($0 \le x \le 5$) の最大値が11となるように定数 $a$ の値を定め、そのときの最小値を求める問題。 * 放物線 $y = 3x^2 - 6x + 4$ を $x$ 軸方向に2, $y$ 軸方向に -1 だけ平行移動して得られる放物線の方程式を求める問題。 * 放物線 $y = -2x^2 + 3x - 1$ を、(1) $x$ 軸に関して、(2) $y$ 軸に関して、(3) 原点に関してそれぞれ対称移動して得られる放物線の方程式を求める問題。

1. 問題の内容

問題は3つあります。

* 関数 $y = x^2 - 4x + a$ ($0 \le x \le 5$) の最大値が11となるように定数 $a$ の値を定め、そのときの最小値を求める問題。

* 放物線 $y = 3x^2 - 6x + 4$ を $x$ 軸方向に2, $y$ 軸方向に -1 だけ平行移動して得られる放物線の方程式を求める問題。

* 放物線 $y = -2x^2 + 3x - 1$ を、(1) $x$ 軸に関して、(2) $y$ 軸に関して、(3) 原点に関してそれぞれ対称移動して得られる放物線の方程式を求める問題。

2. 解き方の手順

* 関数 $y = x^2 - 4x + a$ の最大値と最小値を求める問題

* まず、平方完成を行います。

$y = (x - 2)^2 - 4 + a$

* 軸は $x = 2$ で、定義域 $0 \le x \le 5$ の範囲内にあります。

* $x=5$のとき最大値を取るので、$x=5$を代入すると、

$y = (5-2)^2 - 4 + a = 9 - 4 + a = 5 + a$

* 最大値が11なので、$5 + a = 11$ となり、$a = 6$

* 次に、最小値を求めます。軸 $x=2$ で最小値を取るので、$x=2$を代入すると、

$y = (2-2)^2 - 4 + 6 = -4 + 6 = 2$

* 放物線 $y = 3x^2 - 6x + 4$ を平行移動する問題

* $x$軸方向に2, $y$軸方向に-1平行移動するので、$x$ を $x-2$、$y$ を $y+1$ に置き換えます。

* $y + 1 = 3(x - 2)^2 - 6(x - 2) + 4$

* $y = 3(x^2 - 4x + 4) - 6x + 12 + 4 - 1$

* $y = 3x^2 - 12x + 12 - 6x + 12 + 3$

* $y = 3x^2 - 18x + 27$

* 放物線 $y = -2x^2 + 3x - 1$ を対称移動する問題

* (1) $x$軸に関して対称移動する場合、$y$ を $-y$ に置き換えます。

$-y = -2x^2 + 3x - 1$

$y = 2x^2 - 3x + 1$

* (2) $y$軸に関して対称移動する場合、$x$ を $-x$ に置き換えます。

$y = -2(-x)^2 + 3(-x) - 1$

$y = -2x^2 - 3x - 1$

* (3) 原点に関して対称移動する場合、$x$ を $-x$、$y$ を $-y$ に置き換えます。

$-y = -2(-x)^2 + 3(-x) - 1$

$-y = -2x^2 - 3x - 1$

$y = 2x^2 + 3x + 1$

3. 最終的な答え

* $a=6$, 最小値 2

* $y = 3x^2 - 18x + 27$

* (1) $y = 2x^2 - 3x + 1$

(2) $y = -2x^2 - 3x - 1$

(3) $y = 2x^2 + 3x + 1$