大きく分けて以下の問題があります。 * 2次方程式を解く問題（6問） * 2次関数が重解を持つ条件に関する問題 * 2次不等式を解く問題（5問） * 2次関数のグラフとx軸の共有点の座標を求める問題（2問） * 2次方程式の実数解の個数を求める問題（2問）

はい、承知いたしました。画像に写っている数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

大きく分けて以下の問題があります。

* 2次方程式を解く問題（6問）

* 2次関数が重解を持つ条件に関する問題

* 2次不等式を解く問題（5問）

* 2次関数のグラフとx軸の共有点の座標を求める問題（2問）

* 2次方程式の実数解の個数を求める問題（2問）

2. 解き方の手順

一つずつ順番に解いていきます。

* **2次方程式を解く問題**

(1) $(x+2)(x-3)=0$

　　$x = -2, 3$

(2) $x^2 + 3x - 28 = 0$

　　$(x+7)(x-4) = 0$

　　$x = -7, 4$

(3) $2x^2 - 30x + 50 = 0$

$x^2 - 15x + 25 = 0$

　　解の公式より

$x = \frac{15 \pm \sqrt{15^2 - 4\cdot1\cdot25}}{2} = \frac{15 \pm \sqrt{225-100}}{2} = \frac{15 \pm \sqrt{125}}{2} = \frac{15 \pm 5\sqrt{5}}{2}$

(4) $x^2 - 6x + 4 = 0$

解の公式より

$x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4\cdot1\cdot4}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{36-16}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 3 \pm \sqrt{5}$

(5) $3x^2 + 8x + 5 = 0$

$(3x+5)(x+1)=0$

　　$x = -1, -\frac{5}{3}$

(6) $(x-1)^2 + 4(x-1) + 3 = 0$

$A = x-1$とおくと、$A^2 + 4A + 3 = 0$

$(A+1)(A+3)=0$

$A = -1, -3$

$x-1 = -1 \Rightarrow x = 0$

$x-1 = -3 \Rightarrow x = -2$

$x = 0, -2$

* **2次方程式が重解を持つ条件に関する問題**

2次方程式 $x^2 + mx + m - 1 = 0$ が重解を持つとき、判別式 $D = 0$ となる。

$D = m^2 - 4(m-1) = m^2 - 4m + 4 = (m-2)^2 = 0$

よって、$m = 2$

このとき、$x^2 + 2x + 1 = 0$ となり、$(x+1)^2 = 0$ より、$x = -1$ （重解）

* **2次不等式を解く問題**

(1) $x^2 + 7x + 6 \le 0$

$(x+1)(x+6) \le 0$

$-6 \le x \le -1$

(2) $x^2 - 2x - 15 > 0$

$(x-5)(x+3) > 0$

$x < -3, 5 < x$

(3) $x^2 + 2x + 4 \le 0$

$x^2 + 2x + 4 = (x+1)^2 + 3 > 0$ より、常に正なので、解なし。

(4) $x^2 - 12x + 36 > 0$

$(x-6)^2 > 0$

$x \ne 6$

(5) $-2x^2 - 6x - 5 > 0$

$2x^2 + 6x + 5 < 0$

$x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 40}}{4} = \frac{-6 \pm \sqrt{-4}}{4}$

判別式が負なので実数解を持たない。

$2x^2+6x+5$は常に正なので解なし。

* **2次関数のグラフとx軸の共有点の座標を求める問題**

(1) $y = x^2 + 4x + 3$

$x^2 + 4x + 3 = 0$ となる $x$ を求める。

$(x+1)(x+3) = 0$

$x = -1, -3$

共有点の座標は $(-1, 0), (-3, 0)$

(2) $y = -x^2 + 6x - 9$

$-x^2 + 6x - 9 = 0$ となる $x$ を求める。

$x^2 - 6x + 9 = 0$

$(x-3)^2 = 0$

$x = 3$

共有点の座標は $(3, 0)$

* **2次方程式の実数解の個数を求める問題**

(1) $x^2 + 5x + 3 = 0$

判別式 $D = 5^2 - 4\cdot1\cdot3 = 25 - 12 = 13 > 0$ なので、実数解は2個。

(2) $x^2 - 2\sqrt{5}x + 5 = 0$

判別式 $D = (-2\sqrt{5})^2 - 4\cdot1\cdot5 = 20 - 20 = 0$ なので、実数解は1個（重解）。

3. 最終的な答え

* 2次方程式を解く問題：

(1) $x = -2, 3$

(2) $x = -7, 4$

(3) $x = \frac{15 \pm 5\sqrt{5}}{2}$

(4) $x = 3 \pm \sqrt{5}$

(5) $x = -1, -\frac{5}{3}$

(6) $x = 0, -2$

* 2次方程式が重解を持つ条件に関する問題：

$m = 2, x = -1$

* 2次不等式を解く問題：

(1) $-6 \le x \le -1$

(2) $x < -3, 5 < x$

(3) 解なし

(4) $x \ne 6$

(5) 解なし

* 2次関数のグラフとx軸の共有点の座標を求める問題：

(1) $(-1, 0), (-3, 0)$

(2) $(3, 0)$

* 2次方程式の実数解の個数を求める問題：

(1) 2個

(2) 1個