次の連立不等式を解く問題です。 $\begin{cases} 2x^2 - 3x - 1 \geq 0 \\ -x^2 + 4 > 0 \end{cases}$

1. 問題の内容

次の連立不等式を解く問題です。

$\begin{cases}

2x^2 - 3x - 1 \geq 0 \\

-x^2 + 4 > 0

\end{cases}$

2. 解き方の手順

まず、それぞれの不等式を解きます。

(1) $2x^2 - 3x - 1 \geq 0$

この二次不等式を解くために、まず二次方程式 $2x^2 - 3x - 1 = 0$ の解を求めます。解の公式を用いると、

$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(2)(-1)}}{2(2)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{4}$

したがって、$x_1 = \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$ および $x_2 = \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$ が解となります。不等式 $2x^2 - 3x - 1 \geq 0$ の解は、$x \leq \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$ または $x \geq \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$ です。

(2) $-x^2 + 4 > 0$

この不等式は、$x^2 < 4$ と書き換えられます。したがって、$-2 < x < 2$ です。

(3) 連立不等式の解

(1)と(2)の解を合わせて考えると、

$x \leq \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$ または $x \geq \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$ かつ $-2 < x < 2$

となります。

$\sqrt{17}$ は4より少し大きい値なので、$\frac{3 - \sqrt{17}}{4}$ は-0.28程度となり、$\frac{3 + \sqrt{17}}{4}$ は約1.78となります。

したがって、

$-2 < x \leq \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$ または $\frac{3 + \sqrt{17}}{4} \leq x < 2$ となります。

3. 最終的な答え

$-2 < x \leq \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$ または $\frac{3 + \sqrt{17}}{4} \leq x < 2$