2次不等式 $x^2 + 2mx + 6m - 5 > 0$ の解がすべての実数であるとき、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

2次不等式 $x^2 + 2mx + 6m - 5 > 0$ の解がすべての実数であるとき、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

2次不等式 $x^2 + 2mx + 6m - 5 > 0$ の解がすべての実数であるためには、2次関数 $y = x^2 + 2mx + 6m - 5$ のグラフが常に $x$ 軸より上にある必要があります。

これは、以下の2つの条件が満たされるときに起こります。

* $x^2$ の係数が正である（この場合は 1 で正なので満たされている）。

* 判別式 $D$ が負である。

判別式 $D$ を計算します。

$D = (2m)^2 - 4(1)(6m - 5) = 4m^2 - 24m + 20$

$D < 0$ となる $m$ の範囲を求めます。

$4m^2 - 24m + 20 < 0$

両辺を 4 で割ります。

$m^2 - 6m + 5 < 0$

$(m - 1)(m - 5) < 0$

この不等式を満たす $m$ の範囲は $1 < m < 5$ です。

3. 最終的な答え

$1 < m < 5$