放物線 $y = x^2 - 4x + 3$ を、(1) $y$軸方向、(2) $x$軸方向に平行移動して原点を通るようにしたときの放物線の方程式を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 4x + 3$ を、(1) $y$軸方向、(2) $x$軸方向に平行移動して原点を通るようにしたときの放物線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) $y$軸方向への平行移動

放物線 $y = x^2 - 4x + 3$ を$y$軸方向に$a$だけ平行移動した放物線の方程式は、

$y - a = x^2 - 4x + 3$

$y = x^2 - 4x + 3 + a$

この放物線が原点$(0,0)$を通るので、$x = 0, y = 0$を代入すると、

$0 = 0^2 - 4(0) + 3 + a$

$0 = 3 + a$

$a = -3$

したがって、求める放物線の方程式は、

$y = x^2 - 4x + 3 - 3$

$y = x^2 - 4x$

(2) $x$軸方向への平行移動

放物線 $y = x^2 - 4x + 3$ を$x$軸方向に$b$だけ平行移動した放物線の方程式は、

$y = (x - b)^2 - 4(x - b) + 3$

$y = x^2 - 2bx + b^2 - 4x + 4b + 3$

$y = x^2 - (2b + 4)x + b^2 + 4b + 3$

この放物線が原点$(0,0)$を通るので、$x = 0, y = 0$を代入すると、

$0 = 0^2 - (2b + 4)(0) + b^2 + 4b + 3$

$0 = b^2 + 4b + 3$

$0 = (b + 1)(b + 3)$

$b = -1, -3$

$b = -1$のとき、

$y = x^2 - (2(-1) + 4)x + (-1)^2 + 4(-1) + 3$

$y = x^2 - 2x + 1 - 4 + 3$

$y = x^2 - 2x$

$b = -3$のとき、

$y = x^2 - (2(-3) + 4)x + (-3)^2 + 4(-3) + 3$

$y = x^2 - (-6 + 4)x + 9 - 12 + 3$

$y = x^2 + 2x$

したがって、求める放物線の方程式は、

$y = x^2 - 2x$または$y = x^2 + 2x$

3. 最終的な答え

(1) $y = x^2 - 4x$

(2) $y = x^2 - 2x$, $y = x^2 + 2x$