2次方程式 $2x^2 - px + 3p + q = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$(1-\alpha)(1-\beta)$ を $p, q$ で表せ。

1. 問題の内容

2次方程式 $2x^2 - px + 3p + q = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$(1-\alpha)(1-\beta)$ を $p, q$ で表せ。

2. 解き方の手順

2次方程式の解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = \frac{p}{2}$

$\alpha \beta = \frac{3p+q}{2}$

である。

ここで、$(1-\alpha)(1-\beta)$ を展開すると、

$(1-\alpha)(1-\beta) = 1 - \alpha - \beta + \alpha\beta$

$= 1 - (\alpha + \beta) + \alpha\beta$

解と係数の関係を代入すると、

$1 - (\alpha + \beta) + \alpha\beta = 1 - \frac{p}{2} + \frac{3p+q}{2}$

$= \frac{2 - p + 3p + q}{2}$

$= \frac{2 + 2p + q}{2}$

$= 1 + p + \frac{q}{2}$

3. 最終的な答え

$1 + p + \frac{q}{2}$