## 54. 問題の内容

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4. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 2mx - m + 12 = 0$ が異なる2つの負の解を持つような、定数 $m$ の値の範囲を求めます。

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5. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 2(m-1)x - m + 3 = 0$ が異なる符号の解を持つような、定数 $m$ の値の範囲を求めます。

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4. 解き方の手順

与えられた2次方程式を $f(x) = x^2 + 2mx - m + 12 = 0$ とします。

この方程式が異なる2つの負の解を持つための条件は以下の3つです。

1. 判別式 $D > 0$ (異なる2つの実数解を持つ)

2. 軸 $x = -m < 0$ (軸が負の範囲にある)

3. $f(0) > 0$ (y切片が正)

1. 判別式 $D$ について:

$D = (2m)^2 - 4(1)(-m + 12) = 4m^2 + 4m - 48 > 0$

両辺を4で割ると、$m^2 + m - 12 > 0$

$(m + 4)(m - 3) > 0$

よって、$m < -4$ または $m > 3$

2. 軸について:

軸は $x = -m$ であり、$x < 0$ より $-m < 0$

したがって、$m > 0$

3. $f(0)$ について:

$f(0) = 0^2 + 2m(0) - m + 12 = -m + 12 > 0$

したがって、$m < 12$

上記の3つの条件を満たす $m$ の範囲を求めます。

$m < -4$ または $m > 3$ と、$m > 0$ と、$m < 12$ の共通範囲は $3 < m < 12$ となります。

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4. 最終的な答え

$3 < m < 12$

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5. 解き方の手順

与えられた2次方程式を $g(x) = x^2 + 2(m-1)x - m + 3 = 0$ とします。

この方程式が異なる符号の解を持つための条件は、定数項が負であることです。つまり、$g(0) < 0$ である必要があります。

$g(0) = 0^2 + 2(m-1)(0) - m + 3 = -m + 3 < 0$

したがって、$m > 3$

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5. 最終的な答え

$m > 3$