(3) 放物線 $y = 2x^2 - 3x$ と直線 $y = 5x + k$ が共有点を持つような定数 $k$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

(3) 放物線 $y = 2x^2 - 3x$ と直線 $y = 5x + k$ が共有点を持つような定数 $k$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

放物線と直線が共有点を持つということは、連立方程式

$$2x^2 - 3x = 5x + k$$

が実数解を持つということです。この方程式を整理すると、

$$2x^2 - 8x - k = 0$$

となります。この2次方程式が実数解を持つ条件は、判別式 $D$ が $D \geq 0$ であることです。

判別式 $D$ を計算します。

$$D = (-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-k) = 64 + 8k$$

したがって、$D \geq 0$ より、

$$64 + 8k \geq 0$$

$$8k \geq -64$$

$$k \geq -8$$

3. 最終的な答え

$k \geq -8$