三角形ABCにおいて、以下の条件が与えられたときに、指定された値を求めます。 (1) $a = 3$, $A = 150^\circ$ のとき、外接円の半径 $R$ (2) $a = \sqrt{2}$, $A = 45^\circ$, $B = 120^\circ$ のとき、$b$ (3) $a = 2$, $c = 3\sqrt{2}$, $B = 45^\circ$ のとき、$b$

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、以下の条件が与えられたときに、指定された値を求めます。

(1) $a = 3$, $A = 150^\circ$ のとき、外接円の半径 $R$

(2) $a = \sqrt{2}$, $A = 45^\circ$, $B = 120^\circ$ のとき、$b$

(3) $a = 2$, $c = 3\sqrt{2}$, $B = 45^\circ$ のとき、$b$

2. 解き方の手順

(1) 正弦定理を用います。正弦定理は、$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$ です。

$a = 3$, $A = 150^\circ$ なので、

$\frac{3}{\sin 150^\circ} = 2R$

$\sin 150^\circ = \sin (180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ なので、

$\frac{3}{1/2} = 2R$

$6 = 2R$

$R = 3$

(2) 正弦定理を用いて、$b$ を求めます。

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$

$\frac{\sqrt{2}}{\sin 45^\circ} = \frac{b}{\sin 120^\circ}$

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin 120^\circ = \sin (180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ なので、

$\frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{b}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

$2 = \frac{2b}{\sqrt{3}}$

$2\sqrt{3} = 2b$

$b = \sqrt{3}$

(3) 余弦定理を用います。余弦定理は、$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$ です。

$a = 2$, $c = 3\sqrt{2}$, $B = 45^\circ$ なので、

$b^2 = 2^2 + (3\sqrt{2})^2 - 2(2)(3\sqrt{2})\cos 45^\circ$

$b^2 = 4 + 18 - 12\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$b^2 = 22 - 12\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$b^2 = 22 - 12$

$b^2 = 10$

$b = \sqrt{10}$

3. 最終的な答え

(1) $R = 3$

(2) $b = \sqrt{3}$

(3) $b = \sqrt{10}$