$x = \frac{7-3\sqrt{5}}{2}$ のとき、以下の2つの式の値を求めよ。 (1) $x + \frac{1}{x}$ (2) $\frac{x^6 + 7x - 1}{x^4}$

1. 問題の内容

$x = \frac{7-3\sqrt{5}}{2}$ のとき、以下の2つの式の値を求めよ。

(1) $x + \frac{1}{x}$

(2) $\frac{x^6 + 7x - 1}{x^4}$

2. 解き方の手順

(1) $x + \frac{1}{x}$ を求める。

まず、$\frac{1}{x}$ を計算する。

$\frac{1}{x} = \frac{2}{7 - 3\sqrt{5}}$

分母を有理化するために、分母と分子に $7 + 3\sqrt{5}$ を掛ける。

$\frac{1}{x} = \frac{2(7 + 3\sqrt{5})}{(7 - 3\sqrt{5})(7 + 3\sqrt{5})} = \frac{2(7 + 3\sqrt{5})}{49 - 45} = \frac{2(7 + 3\sqrt{5})}{4} = \frac{7 + 3\sqrt{5}}{2}$

したがって、

$x + \frac{1}{x} = \frac{7 - 3\sqrt{5}}{2} + \frac{7 + 3\sqrt{5}}{2} = \frac{7 - 3\sqrt{5} + 7 + 3\sqrt{5}}{2} = \frac{14}{2} = 7$

(2) $\frac{x^6 + 7x - 1}{x^4}$ を求める。

$x = \frac{7-3\sqrt{5}}{2}$ より、$2x = 7 - 3\sqrt{5}$、つまり $2x - 7 = -3\sqrt{5}$。

両辺を2乗すると、$(2x - 7)^2 = (-3\sqrt{5})^2$

$4x^2 - 28x + 49 = 45$

$4x^2 - 28x + 4 = 0$

$x^2 - 7x + 1 = 0$

$x^2 = 7x - 1$

$\frac{x^6 + 7x - 1}{x^4}$ を計算する。

$\frac{x^6 + 7x - 1}{x^4} = \frac{x^6}{x^4} + \frac{7x}{x^4} - \frac{1}{x^4} = x^2 + \frac{7}{x^3} - \frac{1}{x^4}$

$x^2 = 7x - 1$

$x^6 = (x^2)^3 = (7x - 1)^3 = 343x^3 - 147x^2 + 21x - 1$

$\frac{x^6 + 7x - 1}{x^4} = \frac{343x^3 - 147x^2 + 21x - 1 + 7x - 1}{x^4} = \frac{343x^3 - 147x^2 + 28x - 2}{x^4}$

ここで、$x^2 - 7x + 1 = 0$ を $x^2 = 7x - 1$ と変形した式を使い、式を簡略化する。

まず、$x^2 - 7x + 1 = 0$ を $x^2 + 1 = 7x$と変形する。両辺をxで割って $\frac{x^2+1}{x} = 7$。

すると、$\frac{x^6 + 7x - 1}{x^4} = \frac{(x^2)^3 + 7x - 1}{x^4} = \frac{(7x-1)^3 + 7x - 1}{x^4} = \frac{343x^3 - 147x^2 + 21x - 1 + 7x - 1}{x^4} = \frac{343x^3 - 147x^2 + 28x - 2}{x^4}$

ここで、$x + \frac{1}{x} = 7$より、$x^2 + 1 = 7x$なので、$x^2 = 7x - 1$。

また、$x^2 - 7x + 1 = 0$ を$x^2 = 7x - 1$に移項して、

$x^3 = x(7x-1) = 7x^2 - x = 7(7x-1) - x = 49x - 7 - x = 48x - 7$

$x^4 = x(48x - 7) = 48x^2 - 7x = 48(7x-1) - 7x = 336x - 48 - 7x = 329x - 48$

$x^5 = x(329x-48) = 329x^2 - 48x = 329(7x-1) - 48x = 2303x - 329 - 48x = 2255x - 329$

$x^6 = x(2255x - 329) = 2255x^2 - 329x = 2255(7x-1) - 329x = 15785x - 2255 - 329x = 15456x - 2255$

$\frac{x^6 + 7x - 1}{x^4} = \frac{15456x - 2255 + 7x - 1}{329x - 48} = \frac{15463x - 2256}{329x - 48}$

$x + \frac{1}{x} = 7$より、$x^2 - 7x + 1 = 0$だったので、$x^2 = 7x - 1$なので

$x^6 = (x^2)^3 = (7x - 1)^3 = 343x^3 - 147x^2 + 21x - 1$

$\frac{x^6 + 7x - 1}{x^4} = \frac{343x^3 - 147x^2 + 21x - 1 + 7x - 1}{x^4} = \frac{343x^3 - 147x^2 + 28x - 2}{x^4}$

$x^2 - 7x + 1 = 0$ から、両辺を $x^2$ で割ると、$1 - \frac{7}{x} + \frac{1}{x^2} = 0$ よって $\frac{1}{x^2} = \frac{7}{x} - 1$

$\frac{x^6 + 7x - 1}{x^4} = x^2 + \frac{7}{x^3} - \frac{1}{x^4} = x^2 + \frac{7x}{x^4} - \frac{1}{x^4} = x^2 + \frac{7x - 1}{x^4}$

$x^2 - 7x + 1 = 0$なので、$7x-1 = x^2$となり、$\frac{7x - 1}{x^4} = \frac{x^2}{x^4} = \frac{1}{x^2}$

$\frac{x^6 + 7x - 1}{x^4} = x^2 + \frac{1}{x^2} = x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2 = 7^2 - 2 = 49 - 2 = 47$

3. 最終的な答え

(1) $x + \frac{1}{x} = 7$

(2) $\frac{x^6 + 7x - 1}{x^4} = 47$