9本のくじの中に当たりくじが3本入っている。A, Bの2人がこの順に1本ずつくじを引く。引いたくじは元に戻さない。以下の確率を求める。 (1) Aが当たったとき、Bも当たる確率 (2) Aが当たり、Bも当たる確率 (3) Bが当たる確率

1. 問題の内容

9本のくじの中に当たりくじが3本入っている。A, Bの2人がこの順に1本ずつくじを引く。引いたくじは元に戻さない。以下の確率を求める。

(1) Aが当たったとき、Bも当たる確率

(2) Aが当たり、Bも当たる確率

(3) Bが当たる確率

2. 解き方の手順

(1) Aが当たったとき、Bも当たる確率を求める。

Aが当たったという条件のもとで、Bが当たる確率を求める条件付き確率である。Aが当たったので、残り8本のくじの中に当たりくじは2本残っている。したがって、Bが当たる確率は、

$\frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

(2) Aが当たり、Bも当たる確率を求める。

Aが当たる確率と、その上でBも当たる確率を掛け合わせる。

Aが当たる確率は、$\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$。

Aが当たったとき、Bが当たる確率は(1)で求めたように$\frac{1}{4}$。

したがって、Aが当たり、Bも当たる確率は、

$\frac{1}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$

(3) Bが当たる確率を求める。

Bが当たるのは、Aが当たってBも当たる場合と、Aが外れてBが当たる場合の2通りがある。

Aが当たりBも当たる確率は(2)で求めた$\frac{1}{12}$。

Aが外れる確率は、$\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$。

Aが外れたとき、残り8本のくじの中に当たりくじは3本残っている。したがって、Bが当たる確率は、$\frac{3}{8}$。

Aが外れてBが当たる確率は、$\frac{2}{3} \times \frac{3}{8} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$。

よって、Bが当たる確率は、

$\frac{1}{12} + \frac{1}{4} = \frac{1}{12} + \frac{3}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

または、Bが当たる確率は、Aが当たる確率と同じで $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ と考えることもできる。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{4}$

(2) $\frac{1}{12}$

(3) $\frac{1}{3}$