不等式 $a^2 + 9b^2 \geq 4ab$ を証明せよ。

1. 問題の内容

不等式 $a^2 + 9b^2 \geq 4ab$ を証明せよ。

2. 解き方の手順

まず、$a^2 + 9b^2 \geq 4ab$ を変形して、$a^2 - 4ab + 9b^2 \geq 0$ を示すことを目指します。

この左辺を平方完成させることを考えます。

$a^2 - 4ab + 9b^2 = a^2 - 4ab + (2b)^2 - (2b)^2 + 9b^2$

$= (a - 2b)^2 - 4b^2 + 9b^2$

$= (a - 2b)^2 + 5b^2$

したがって、$a^2 + 9b^2 - 4ab = (a-2b)^2 + 5b^2$ となります。

$(a-2b)^2$ は実数の2乗なので、常に0以上です。つまり、$(a-2b)^2 \geq 0$ です。

同様に、$5b^2$ も実数の2乗に5をかけたものなので、常に0以上です。つまり、$5b^2 \geq 0$ です。

したがって、$(a-2b)^2 + 5b^2 \geq 0$ が成り立ちます。

よって、$a^2 + 9b^2 - 4ab \geq 0$ となり、$a^2 + 9b^2 \geq 4ab$ が証明されました。

3. 最終的な答え

$a^2 + 9b^2 \geq 4ab$ が成り立つ。