$n$、$k$ は自然数であり、$k \leq 100$ とする。 条件 $p$ を「$n$ は $k$ の倍数である」、条件 $q$ を「$n$ は $14$ の倍数である」と定める。 命題 $p \implies q$ が真であるような $k$ の個数を求めよ。

1. 問題の内容

$n$、$k$ は自然数であり、$k \leq 100$ とする。

条件 $p$ を「$n$ は $k$ の倍数である」、条件 $q$ を「$n$ は $14$ の倍数である」と定める。

命題 $p \implies q$ が真であるような $k$ の個数を求めよ。

2. 解き方の手順

命題 $p \implies q$ が真であるとは、$p$ を満たすならば必ず $q$ を満たすということである。つまり、$n$ が $k$ の倍数であるならば、$n$ は $14$ の倍数でなければならない。これは、$k$ が $14$ の約数であることを意味する。なぜなら、$n$ が $k$ の倍数であるとき、$n = k \cdot m$ (ただし、$m$ は整数) と表せる。これが $14$ の倍数であるためには、$k$ が $14$ の約数である必要があるからである。

$14$ の約数をすべて書き出す。$14 = 2 \cdot 7$ なので、$14$ の約数は $1, 2, 7, 14$ である。

ここで、$k \leq 100$ であることを考慮すると、$k = 1, 2, 7, 14$ はすべて条件を満たす。

したがって、求める $k$ の個数は $4$ 個である。

3. 最終的な答え

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