袋の中に赤玉が5個、白玉が3個入っている。この袋から同時に3個の玉を取り出すとき、取り出した玉に赤玉と白玉が両方含まれる確率を求める。

1. 問題の内容

袋の中に赤玉が5個、白玉が3個入っている。この袋から同時に3個の玉を取り出すとき、取り出した玉に赤玉と白玉が両方含まれる確率を求める。

2. 解き方の手順

まず、3個の玉の取り出し方の場合の総数を計算する。

これは、8個の玉から3個を選ぶ組み合わせなので、 $_8C_3$ で求められる。

$_8C_3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$

次に、赤玉と白玉が両方含まれない場合の数を計算する。これは、3個とも赤玉の場合と、3個とも白玉の場合である。

3個とも赤玉の場合の数は、 $_5C_3$ で求められる。

$_5C_3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

3個とも白玉の場合の数は、 $_3C_3$ で求められる。

$_3C_3 = \frac{3!}{3!(3-3)!} = \frac{3!}{3!0!} = 1$

赤玉と白玉が両方含まれない場合の数は、 $10 + 1 = 11$ である。

赤玉と白玉が両方含まれる場合の数は、総数から両方含まれない場合を引けばよい。

$56 - 11 = 45$

したがって、求める確率は、

$\frac{45}{56}$

3. 最終的な答え

45/56