(1) 4人を2つの部屋A, Bに入れる方法を求めます。ただし、全員が同じ部屋に入っても良いとします。 (2) 4人を2つの部屋A, Bに入れる方法を求めます。ただし、各部屋に少なくとも1人は入るとします。 (3) 6人の生徒を、①3人、2人、1人の組に分ける方法、②2人ずつ3組に分ける方法をそれぞれ求めます。 (4) 男子2人、女子4人が円形のテーブルの周りに並ぶとき、①男子が向かい合う並び方、②男子が隣り合う並び方をそれぞれ求めます。 (5) a, a, a, b, b, b, cの7文字を1列に並べる方法を求めます。

1. 問題の内容

(1) 4人を2つの部屋A, Bに入れる方法を求めます。ただし、全員が同じ部屋に入っても良いとします。

(2) 4人を2つの部屋A, Bに入れる方法を求めます。ただし、各部屋に少なくとも1人は入るとします。

(3) 6人の生徒を、①3人、2人、1人の組に分ける方法、②2人ずつ3組に分ける方法をそれぞれ求めます。

(4) 男子2人、女子4人が円形のテーブルの周りに並ぶとき、①男子が向かい合う並び方、②男子が隣り合う並び方をそれぞれ求めます。

(5) a, a, a, b, b, b, cの7文字を1列に並べる方法を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 各人は部屋AかBに入るかの2通りの選択肢があるので、$2^4 = 16$通りです。

(2) (1)から全員が同じ部屋に入る場合（2通り）を引けば良いので、$16 - 2 = 14$通りです。

(3) ① 6人から3人を選ぶ組み合わせ、残りの3人から2人を選ぶ組み合わせ、残りの1人を選ぶ組み合わせの積で求めます。

$_{6}C_{3} \times _{3}C_{2} \times _{1}C_{1} = \frac{6!}{3!3!} \times \frac{3!}{2!1!} \times 1 = 20 \times 3 \times 1 = 60$通りです。

② 6人から2人を選び、残りの4人から2人を選び、残りの2人から2人を選びます。ただし、組の区別がないので、3!で割ります。

$\frac{_{6}C_{2} \times _{4}C_{2} \times _{2}C_{2}}{3!} = \frac{\frac{6!}{2!4!} \times \frac{4!}{2!2!} \times 1}{3!} = \frac{15 \times 6 \times 1}{6} = 15$通りです。

(4) ① 男子2人を固定し、残りの4人の女子の並び方を考えます。男子の並び方は1通り、女子の並び方は4!通りなので、$(4-1)! = 3! = 6$なので、男子の並び方は1通り、女子の並び方は$(4-1)! = 3! = 6$通り。 よって、$4! = 24$通り。

② 男子2人が隣り合うように並ぶので、男子2人を1つのグループとして考えます。全体で5個のものを円形に並べるので、(5-1)!=4!通り。男子2人の並び方は2!通り。よって、4! x 2! = 24 x 2 = 48通り。

(5) 同じ文字を含む順列なので、全体の並べ方の場合の数を、同じ文字の階乗で割ります。

$\frac{7!}{3!3!1!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(3 \times 2 \times 1)(1)} = \frac{5040}{36} = 140$通りです。

3. 最終的な答え

(1) 16通り

(2) 14通り

(3) ① 60通り ② 15通り

(4) ① 24通り ② 48通り

(5) 140通り