正八面体のサイコロを5回投げるとき、7以上の目が出る回数を$X$とする。 (1) $P(X \ge 2)$を求める。 (2) 確率変数$X$の期待値$E(X)$と標準偏差$\sigma(X)$を求める。

1. 問題の内容

正八面体のサイコロを5回投げるとき、7以上の目が出る回数を$X$とする。

(1) $P(X \ge 2)$を求める。

(2) 確率変数$X$の期待値$E(X)$と標準偏差$\sigma(X)$を求める。

2. 解き方の手順

(1) 7以上の目が出る確率は$\frac{2}{8} = \frac{1}{4}$である。

$X$は二項分布$B(5, \frac{1}{4})$に従う。

$P(X \ge 2) = 1 - P(X=0) - P(X=1)$

$P(X=0) = {}_5 C_0 (\frac{1}{4})^0 (\frac{3}{4})^5 = (\frac{3}{4})^5 = \frac{243}{1024}$

$P(X=1) = {}_5 C_1 (\frac{1}{4})^1 (\frac{3}{4})^4 = 5 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{81}{256} = \frac{405}{1024}$

$P(X \ge 2) = 1 - \frac{243}{1024} - \frac{405}{1024} = 1 - \frac{648}{1024} = \frac{1024 - 648}{1024} = \frac{376}{1024} = \frac{47}{128}$

(2) $X$は二項分布$B(5, \frac{1}{4})$に従うので、

$E(X) = np = 5 \cdot \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$

$V(X) = np(1-p) = 5 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{15}{16}$

$\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $P(X \ge 2) = \frac{47}{128}$

(2) $E(X) = \frac{5}{4}$, $\sigma(X) = \frac{\sqrt{15}}{4}$