ある学校の生徒にアンケートをした結果、バラを漢字で書けるがレモンを書けない生徒の数、レモンを書けるがバラを書けない生徒の数、バラを書けない生徒の数、レモンを書ける生徒の数がわかっている。このとき、生徒の総数を求める。

1. 問題の内容

ある学校の生徒にアンケートをした結果、バラを漢字で書けるがレモンを書けない生徒の数、レモンを書けるがバラを書けない生徒の数、バラを書けない生徒の数、レモンを書ける生徒の数がわかっている。このとき、生徒の総数を求める。

2. 解き方の手順

* バラを漢字で書ける生徒の集合を $A$、レモンを漢字で書ける生徒の集合を $B$ とする。

* $A \cap B^c$ (バラは書けるがレモンは書けない) の人数は 20 人。

* $A^c \cap B$ (レモンは書けるがバラは書けない) の人数は 5 人。

* $A^c$ (バラを書けない) の人数は 255 人。

* $B$ (レモンを書ける) の人数は 30 人。

* 全生徒数を $N$ とする。

* $A^c = (A^c \cap B) \cup (A^c \cap B^c)$ であり、$A^c \cap B$ と $A^c \cap B^c$ は互いに素なので、$|A^c| = |A^c \cap B| + |A^c \cap B^c|$。

よって、$255 = 5 + |A^c \cap B^c|$ より、$|A^c \cap B^c| = 250$。

* $B = (A \cap B) \cup (A^c \cap B)$ であり、$A \cap B$ と $A^c \cap B$ は互いに素なので、$|B| = |A \cap B| + |A^c \cap B|$。

よって、$30 = |A \cap B| + 5$ より、$|A \cap B| = 25$。

* $N = |A \cap B| + |A \cap B^c| + |A^c \cap B| + |A^c \cap B^c|$ であるから、$N = 25 + 20 + 5 + 250$。

3. 最終的な答え

300人