問題41：母集団が正規分布に従い、母標準偏差 $\sigma$ が未知、標本の大きさが20であるとき、母平均の区間推定にはどの標本分布を使用すべきか。選択肢は正規分布とt分布。 問題42：分散が既知の正規母集団 $N(\mu, 4^2)$ から大きさ16の無作為標本をとり、標本平均を計算したところ9であった。$\mu$ の信頼係数がそれぞれ0.9, 0.95, 0.99の信頼区間について、下限信頼限界と上限信頼限界を求めよ。

1. 問題の内容

問題41：母集団が正規分布に従い、母標準偏差 $\sigma$ が未知、標本の大きさが20であるとき、母平均の区間推定にはどの標本分布を使用すべきか。選択肢は正規分布とt分布。

問題42：分散が既知の正規母集団 $N(\mu, 4^2)$ から大きさ16の無作為標本をとり、標本平均を計算したところ9であった。$\mu$ の信頼係数がそれぞれ0.9, 0.95, 0.99の信頼区間について、下限信頼限界と上限信頼限界を求めよ。

2. 解き方の手順

問題41：

母集団が正規分布に従う場合でも、母標準偏差 $\sigma$ が未知であるため、t分布を使用する必要がある。

問題42：

母集団が正規分布に従い、母分散 $\sigma^2$ が既知の場合、母平均 $\mu$ の信頼区間は、正規分布を用いて計算できる。

標本平均を $\bar{x}$、標本サイズを $n$、母標準偏差を $\sigma$、信頼係数に対応する標準正規分布の値を $z$ とすると、信頼区間は次の式で求められる。

$\bar{x} \pm z \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

ここで、$\bar{x} = 9$, $n = 16$, $\sigma = 4$ である。

(1) 信頼係数 0.9の場合、$z = 1.645$ (片側)なので、

下限: $9 - 1.645 \times \frac{4}{\sqrt{16}} = 9 - 1.645 = 7.355$

(2) 上限: $9 + 1.645 \times \frac{4}{\sqrt{16}} = 9 + 1.645 = 10.645$

(3) 信頼係数 0.95の場合、$z = 1.96$ なので、

下限: $9 - 1.96 \times \frac{4}{\sqrt{16}} = 9 - 1.96 = 7.04$

(4) 上限: $9 + 1.96 \times \frac{4}{\sqrt{16}} = 9 + 1.96 = 10.96$

(5) 信頼係数 0.99の場合、$z = 2.576$ なので、

下限: $9 - 2.576 \times \frac{4}{\sqrt{16}} = 9 - 2.576 = 6.424$

(6) 上限: $9 + 2.576 \times \frac{4}{\sqrt{16}} = 9 + 2.576 = 11.576$

3. 最終的な答え

問題41：t分布

問題42：

(1) 下限信頼限界：7.355

(2) 上限信頼限界：10.645

(3) 下限信頼限界：7.04

(4) 上限信頼限界：10.96

(5) 下限信頼限界：6.424

(6) 上限信頼限界：11.576