半径4の円Oにおいて、弦ABと直径CDの延長の交点をPとする。AB=1、PC=2であるとき、PAの長さを求める。

1. 問題の内容

半径4の円Oにおいて、弦ABと直径CDの延長の交点をPとする。AB=1、PC=2であるとき、PAの長さを求める。

2. 解き方の手順

円の弦に関する方べきの定理を利用する。

方べきの定理より、PA × PB = PC × PD が成り立つ。

ここで、AB = 1よりPB = PA + AB = PA + 1である。

また、円の半径が4であることから、直径CD = 8であり、PD = PC + CD = 2 + 8 = 10である。

したがって、PA × (PA + 1) = 2 × 10 という式が成り立つ。

これをPAについて解く。

$PA(PA + 1) = 2 \times 10$

$PA^2 + PA = 20$

$PA^2 + PA - 20 = 0$

この2次方程式を解く。因数分解すると

$(PA + 5)(PA - 4) = 0$

$PA = -5, 4$

PAは長さなので、正である必要がある。よって、PA = 4となる。

3. 最終的な答え

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