(i) 円 $x^2 + y^2 = 25$ と直線 $y = x + 1$ の共有点の座標を求めよ。 (ii) 2つの円 $x^2 + y^2 = 16$ と $x^2 + y^2 + 2x - 4y = 0$ の共有点の座標を求めよ。

1. 問題の内容

(i) 円 $x^2 + y^2 = 25$ と直線 $y = x + 1$ の共有点の座標を求めよ。

(ii) 2つの円 $x^2 + y^2 = 16$ と $x^2 + y^2 + 2x - 4y = 0$ の共有点の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(i)

ステップ1: 直線 $y = x + 1$ を円 $x^2 + y^2 = 25$ に代入する。

$x^2 + (x + 1)^2 = 25$

ステップ2: 上の式を展開して整理する。

$x^2 + x^2 + 2x + 1 = 25$

$2x^2 + 2x - 24 = 0$

$x^2 + x - 12 = 0$

ステップ3: 上の二次方程式を解く。

$(x + 4)(x - 3) = 0$

$x = -4, 3$

ステップ4: $x$ の値を直線 $y = x + 1$ に代入して、$y$ の値を求める。

$x = -4$ のとき、$y = -4 + 1 = -3$

$x = 3$ のとき、$y = 3 + 1 = 4$

ステップ5: 共有点の座標を求める。

共有点の座標は $(-4, -3)$ と $(3, 4)$。

(ii)

ステップ1: 2つの円の式を連立方程式として解く。

$x^2 + y^2 = 16$

$x^2 + y^2 + 2x - 4y = 0$

ステップ2: 2番目の式から1番目の式を引く。

$(x^2 + y^2 + 2x - 4y) - (x^2 + y^2) = 0 - 16$

$2x - 4y = -16$

$x - 2y = -8$

$x = 2y - 8$

ステップ3: $x = 2y - 8$ を $x^2 + y^2 = 16$ に代入する。

$(2y - 8)^2 + y^2 = 16$

ステップ4: 上の式を展開して整理する。

$4y^2 - 32y + 64 + y^2 = 16$

$5y^2 - 32y + 48 = 0$

ステップ5: 上の二次方程式を解く。

$(5y - 12)(y - 4) = 0$

$y = \frac{12}{5}, 4$

ステップ6: $y$ の値を $x = 2y - 8$ に代入して、$x$ の値を求める。

$y = \frac{12}{5}$ のとき、$x = 2(\frac{12}{5}) - 8 = \frac{24}{5} - \frac{40}{5} = -\frac{16}{5}$

$y = 4$ のとき、$x = 2(4) - 8 = 8 - 8 = 0$

ステップ7: 共有点の座標を求める。

共有点の座標は $(-\frac{16}{5}, \frac{12}{5})$ と $(0, 4)$。

3. 最終的な答え

(i) $(-4, -3)$, $(3, 4)$

(ii) $(-\frac{16}{5}, \frac{12}{5})$, $(0, 4)$