$\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$ とする。単位円周上の3点A(1, 0), B($\cos\theta$, $\sin\theta$), C($\cos2\theta$, $\sin2\theta$)を頂点とする$\triangle$ABCの面積をSとする。 (1) Sを$\theta$を用いて表せ。 (2) Sの最大値とそのときの$\theta$の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$ とする。単位円周上の3点A(1, 0), B($\cos\theta$, $\sin\theta$), C($\cos2\theta$, $\sin2\theta$)を頂点とする$\triangle$ABCの面積をSとする。

(1) Sを$\theta$を用いて表せ。

(2) Sの最大値とそのときの$\theta$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle ABC$の面積Sは、座標を用いて以下の式で表せる。

$S = \frac{1}{2} |(1 \cdot \sin\theta + \cos\theta \cdot \sin2\theta + \cos2\theta \cdot 0) - (0 \cdot \cos\theta + \sin\theta \cdot \cos2\theta + \sin2\theta \cdot 1)|$

$= \frac{1}{2} |\sin\theta + \cos\theta \sin2\theta - \sin\theta \cos2\theta - \sin2\theta|$

$= \frac{1}{2} |\sin\theta + 2\cos^2\theta \sin\theta - \sin\theta(2\cos^2\theta - 1) - 2\sin\theta \cos\theta|$

$= \frac{1}{2} |\sin\theta + 2\cos^2\theta \sin\theta - 2\cos^2\theta \sin\theta + \sin\theta - 2\sin\theta \cos\theta|$

$= \frac{1}{2} |2\sin\theta - 2\sin\theta \cos\theta|$

$= |\sin\theta(1 - \cos\theta)|$

$\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$において、$\sin\theta > 0$かつ$\cos\theta < 0$であるから、$1 - \cos\theta > 0$なので、$S = \sin\theta(1 - \cos\theta)$.

(2) Sの最大値を求める。

$S = \sin\theta - \sin\theta \cos\theta = \sin\theta - \frac{1}{2} \sin2\theta$

$\frac{dS}{d\theta} = \cos\theta - \cos2\theta = 0$

$\cos\theta = \cos2\theta$

$\cos2\theta = 2\cos^2\theta - 1$なので、

$\cos\theta = 2\cos^2\theta - 1$

$2\cos^2\theta - \cos\theta - 1 = 0$

$(2\cos\theta + 1)(\cos\theta - 1) = 0$

$\cos\theta = 1$ or $\cos\theta = -\frac{1}{2}$

$\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$より、$\cos\theta = -\frac{1}{2}$

$\theta = \frac{2\pi}{3}$

$\frac{d^2S}{d\theta^2} = -\sin\theta + 2\sin2\theta$

$\theta = \frac{2\pi}{3}$のとき、$\sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin2\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\frac{d^2S}{d\theta^2} = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} = -\frac{3\sqrt{3}}{2} < 0$

したがって、$\theta = \frac{2\pi}{3}$のとき、Sは極大値をとる。

Sの最大値は、

$S = \sin\frac{2\pi}{3} (1 - \cos\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} (1 - (-\frac{1}{2})) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$.

3. 最終的な答え

(1) $S = \sin\theta (1-\cos\theta)$

(2) Sの最大値は$\frac{3\sqrt{3}}{4}$ ($\theta = \frac{2\pi}{3}$のとき)