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三角形ABCにおいて、AB=7, CA=6, cosA=1/4である。 (1) BCの長さと、三角形ABCの面積を求めよ。 (2) 三角形ABCの外接円の点Cを含まない弧AB上に、点Dをsin∠BCD=√15/8となるようにとる。このとき、BDの長さと、三角形ABCの面積をS1、三角形BCDの面積をS2とするとき、S1/S2を求めよ。

幾何学三角比余弦定理正弦定理三角形の面積円に内接する四角形
2025/3/20

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、AB=7, CA=6, cosA=1/4である。
(1) BCの長さと、三角形ABCの面積を求めよ。
(2) 三角形ABCの外接円の点Cを含まない弧AB上に、点Dをsin∠BCD=√15/8となるようにとる。このとき、BDの長さと、三角形ABCの面積をS1、三角形BCDの面積をS2とするとき、S1/S2を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)
余弦定理より、BCの長さを求める。
BC2=AB2+CA2−2⋅AB⋅CA⋅cos⁡ABC^2 = AB^2 + CA^2 - 2 \cdot AB \cdot CA \cdot \cos A
BC2=72+62−2⋅7⋅6⋅14BC^2 = 7^2 + 6^2 - 2 \cdot 7 \cdot 6 \cdot \frac{1}{4}
BC2=49+36−21=64BC^2 = 49 + 36 - 21 = 64
BC=8BC = 8
次に、sin Aの値を求める。
sin⁡2A+cos⁡2A=1\sin^2 A + \cos^2 A = 1より、
sin⁡2A=1−cos⁡2A=1−(14)2=1−116=1516\sin^2 A = 1 - \cos^2 A = 1 - (\frac{1}{4})^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}
sin⁡A=1516=154\sin A = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}
三角形ABCの面積は、
S=12⋅AB⋅CA⋅sin⁡A=12⋅7⋅6⋅154=21154S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CA \cdot \sin A = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{15}}{4} = \frac{21\sqrt{15}}{4}
(2)
円周角の定理より、∠BAC = ∠BDC。
また、円に内接する四角形の対角の和は180度なので、∠BAC + ∠BCD = 180度。よって、∠BAC = 180度 - ∠BCD。
sin⁡∠BCD=158\sin \angle BCD = \frac{\sqrt{15}}{8}なので、cos⁡∠BCD=±1−sin⁡2∠BCD=±1−1564=±4964=±78\cos \angle BCD = \pm \sqrt{1 - \sin^2 \angle BCD} = \pm \sqrt{1 - \frac{15}{64}} = \pm \sqrt{\frac{49}{64}} = \pm \frac{7}{8}
∠BCDは鈍角なので、cos⁡∠BCD=−78\cos \angle BCD = -\frac{7}{8}
余弦定理より、BD2=BC2+CD2−2⋅BC⋅CD⋅cos⁡∠BCDBD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos \angle BCD
∠BAC+∠BCD=180∘\angle BAC + \angle BCD = 180^\circ なので，sin⁡∠BAC=sin⁡∠BCD=158\sin \angle BAC = \sin \angle BCD = \frac{\sqrt{15}}{8}.
正弦定理より，BCsin⁡∠BAC=2R\frac{BC}{\sin \angle BAC} = 2R より 2R=8158=64152R = \frac{8}{\frac{\sqrt{15}}{8}} = \frac{64}{\sqrt{15}}.
CD=2Rsin⁡∠CADCD = 2R \sin \angle CAD
円周角の定理より、∠BAC = ∠BDC。
sin⁡∠BCD=158\sin \angle BCD = \frac{\sqrt{15}}{8}より、cos⁡∠BCD=−78\cos \angle BCD = - \frac{7}{8}
三角形BCDにおいて、正弦定理よりBDsin⁡∠BCD=BCsin⁡∠BDC=CDsin⁡∠DBC\frac{BD}{\sin\angle BCD} = \frac{BC}{\sin\angle BDC}=\frac{CD}{\sin\angle DBC}.
sin⁡∠BDC=sin⁡∠BAC=154\sin\angle BDC = \sin\angle BAC=\frac{\sqrt{15}}{4} なので，BDsin⁡∠BCD=BCsin⁡∠BDC  ⟹  BD=BCsin⁡∠BCDsin⁡∠BAC=8⋅158154=4\frac{BD}{\sin\angle BCD}=\frac{BC}{\sin\angle BDC} \implies BD=\frac{BC \sin\angle BCD}{\sin\angle BAC}=\frac{8\cdot\frac{\sqrt{15}}{8}}{\frac{\sqrt{15}}{4}}=4.
S1=21154S_1 = \frac{21\sqrt{15}}{4}
S2=12⋅BC⋅BD⋅sin⁡∠DBCS_2 = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot BD \cdot \sin\angle DBC
S1/S2 = 7/2

3. 最終的な答え

(1) BC = 8、三角形ABCの面積は21√15/4
(2) BD = 4、S1/S2 = 7/2

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