三角形ABCにおいて、AB=7, CA=6, cosA=1/4である。 (1) BCの長さと、三角形ABCの面積を求めよ。 (2) 三角形ABCの外接円の点Cを含まない弧AB上に、点Dをsin∠BCD=√15/8となるようにとる。このとき、BDの長さと、三角形ABCの面積をS1、三角形BCDの面積をS2とするとき、S1/S2を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、AB=7, CA=6, cosA=1/4である。

(1) BCの長さと、三角形ABCの面積を求めよ。

(2) 三角形ABCの外接円の点Cを含まない弧AB上に、点Dをsin∠BCD=√15/8となるようにとる。このとき、BDの長さと、三角形ABCの面積をS1、三角形BCDの面積をS2とするとき、S1/S2を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

余弦定理より、BCの長さを求める。

$BC^2 = AB^2 + CA^2 - 2 \cdot AB \cdot CA \cdot \cos A$

$BC^2 = 7^2 + 6^2 - 2 \cdot 7 \cdot 6 \cdot \frac{1}{4}$

$BC^2 = 49 + 36 - 21 = 64$

$BC = 8$

次に、sin Aの値を求める。

$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$より、

$\sin^2 A = 1 - \cos^2 A = 1 - (\frac{1}{4})^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$

$\sin A = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$

三角形ABCの面積は、

$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CA \cdot \sin A = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{15}}{4} = \frac{21\sqrt{15}}{4}$

(2)

円周角の定理より、∠BAC = ∠BDC。

また、円に内接する四角形の対角の和は180度なので、∠BAC + ∠BCD = 180度。よって、∠BAC = 180度 - ∠BCD。

$\sin \angle BCD = \frac{\sqrt{15}}{8}$なので、$\cos \angle BCD = \pm \sqrt{1 - \sin^2 \angle BCD} = \pm \sqrt{1 - \frac{15}{64}} = \pm \sqrt{\frac{49}{64}} = \pm \frac{7}{8}$

∠BCDは鈍角なので、$\cos \angle BCD = -\frac{7}{8}$

余弦定理より、$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos \angle BCD$

$\angle BAC + \angle BCD = 180^\circ$ なので，$\sin \angle BAC = \sin \angle BCD = \frac{\sqrt{15}}{8}$.

正弦定理より，$\frac{BC}{\sin \angle BAC} = 2R$ より $2R = \frac{8}{\frac{\sqrt{15}}{8}} = \frac{64}{\sqrt{15}}$.

$CD = 2R \sin \angle CAD$

円周角の定理より、∠BAC = ∠BDC。

$\sin \angle BCD = \frac{\sqrt{15}}{8}$より、$\cos \angle BCD = - \frac{7}{8}$

三角形BCDにおいて、正弦定理より$\frac{BD}{\sin\angle BCD} = \frac{BC}{\sin\angle BDC}=\frac{CD}{\sin\angle DBC}$.

$\sin\angle BDC = \sin\angle BAC=\frac{\sqrt{15}}{4}$ なので，$\frac{BD}{\sin\angle BCD}=\frac{BC}{\sin\angle BDC} \implies BD=\frac{BC \sin\angle BCD}{\sin\angle BAC}=\frac{8\cdot\frac{\sqrt{15}}{8}}{\frac{\sqrt{15}}{4}}=4$.

$S_1 = \frac{21\sqrt{15}}{4}$

$S_2 = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot BD \cdot \sin\angle DBC$

S1/S2 = 7/2

3. 最終的な答え

(1) BC = 8、三角形ABCの面積は21√15/4

(2) BD = 4、S1/S2 = 7/2