2つの袋A, Bがあり、それぞれの袋に1から7の数が書かれた7枚のカードが入っている。Pさんが袋Aから同時に3枚のカードを取り出し、Qさんが袋Bから同時に3枚のカードを取り出す。 (1) Pさんが取り出した3枚のカードに書かれた数がすべて奇数である確率を求める。 (2) Qさんが取り出した3枚のカードの中に2が含まれている確率を求める。 (3) PさんとQさんが取り出した3枚のカードに書かれた数がすべて同じである確率と、1枚だけ同じである確率を求める。

1. 問題の内容

2つの袋A, Bがあり、それぞれの袋に1から7の数が書かれた7枚のカードが入っている。Pさんが袋Aから同時に3枚のカードを取り出し、Qさんが袋Bから同時に3枚のカードを取り出す。

(1) Pさんが取り出した3枚のカードに書かれた数がすべて奇数である確率を求める。

(2) Qさんが取り出した3枚のカードの中に2が含まれている確率を求める。

(3) PさんとQさんが取り出した3枚のカードに書かれた数がすべて同じである確率と、1枚だけ同じである確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) 袋Aには1, 3, 5, 7の4つの奇数のカードがある。Pさんが取り出した3枚のカードがすべて奇数である確率を求める。

7枚のカードから3枚を取り出す組み合わせは $\binom{7}{3} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$通り。

4枚の奇数のカードから3枚を取り出す組み合わせは $\binom{4}{3} = \frac{4 \times 3 \times 2}{3 \times 2 \times 1} = 4$通り。

したがって、確率は $\frac{4}{35}$となる。

(2) Qさんが取り出した3枚のカードの中に2が含まれている確率を求める。

2が含まれているということは、残りの2枚は2以外の6枚から選ぶことになる。

6枚から2枚を選ぶ組み合わせは $\binom{6}{2} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$通り。

したがって、確率は $\frac{15}{35} = \frac{3}{7}$となる。

(3) PさんとQさんが取り出した3枚のカードに書かれた数がすべて同じである確率を求める。

Pさんが取り出す3枚のカードの組み合わせは35通り。QさんがPさんと同じ3枚を取り出すのは1通り。

したがって、確率は $\frac{1}{35} \times \frac{1}{35}$ではなく、$\frac{1}{35}$である。$\binom{7}{3}=35$通りのうち、PさんとQさんが同じカードを選ぶのは35通りのうち1通りなので、$1/35$

1枚だけ同じである確率を求める。

Pさんが取り出したカードを{a, b, c}とする。Qさんが取り出したカードのうち1枚だけ同じであるとき、同じカードがa, b, cのどれであるかで場合分けができる。

Qさんはa,b,cのうち1枚を取り、残りの2枚はa,b,c以外の4枚から選ぶ。

4枚から2枚を選ぶ組み合わせは $\binom{4}{2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$通り。

同じカードを選ぶのがa, b, cのどれであるかで3通りある。

したがって、1枚だけ同じカードを選ぶ組み合わせは$3 \times 6 = 18$通り。

1枚だけ同じである確率は $\frac{18}{35}$となる。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{4}{35}$

(2) $\frac{3}{7}$

(3) すべて同じ: $\frac{1}{35}$

1枚だけ同じ: $\frac{18}{35}$