2次関数 $f(x) = -x^2 + 6x + a$ (aは定数) について、以下の問いに答える問題です。 (1) $y=f(x)$ のグラフ上の点 $(1, f(1))$ における接線 $l$ の傾きを求めます。 (2) 接線 $l$ が点 $(0, -8)$ を通るときの $a$ の値を求めます。 (3) このとき、接線 $l$ と放物線 $y=f(x)$、y軸で囲まれた部分の面積を求めます。 (4) 接線 $l$ と放物線 $y=f(x)$、x軸で囲まれた部分の面積を求めます。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = -x^2 + 6x + a$ (aは定数) について、以下の問いに答える問題です。

(1) $y=f(x)$ のグラフ上の点 $(1, f(1))$ における接線 $l$ の傾きを求めます。

(2) 接線 $l$ が点 $(0, -8)$ を通るときの $a$ の値を求めます。

(3) このとき、接線 $l$ と放物線 $y=f(x)$、y軸で囲まれた部分の面積を求めます。

(4) 接線 $l$ と放物線 $y=f(x)$、x軸で囲まれた部分の面積を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = -x^2 + 6x + a$ より、$f'(x) = -2x + 6$ です。

点 $(1, f(1))$ における接線 $l$ の傾きは $f'(1)$ なので、$f'(1) = -2(1) + 6 = 4$ となります。

(2) $f(1) = -1^2 + 6(1) + a = -1 + 6 + a = 5 + a$ です。

接線 $l$ の方程式は、点 $(1, 5+a)$ を通り傾きが4の直線なので、

$y - (5+a) = 4(x-1)$

$y = 4x - 4 + 5 + a$

$y = 4x + 1 + a$

接線 $l$ が点 $(0, -8)$ を通るので、

$-8 = 4(0) + 1 + a$

$-8 = 1 + a$

$a = -9$

(3) $a = -9$ のとき、$f(x) = -x^2 + 6x - 9 = -(x-3)^2$ です。

接線 $l$ の方程式は $y = 4x + 1 - 9 = 4x - 8$ です。

接線 $l$ と放物線 $y = f(x)$ の交点は $x=1$ のみです。

放物線とy軸との交点は $(0,-9)$

接線とy軸との交点は $(0,-8)$

求める面積は

$\int_0^1 (-(x-3)^2 - (4x-8))dx$

$=\int_0^1 (-x^2+6x-9 - 4x+8) dx$

$=\int_0^1 (-x^2+2x-1) dx$

$=[-\frac{1}{3}x^3 + x^2 - x]_0^1$

$=-\frac{1}{3} + 1 - 1 = -\frac{1}{3}$

面積なので絶対値を取り $\frac{1}{3}$ となります。

(4) 接線 $l$ と放物線 $y=f(x)$、x軸で囲まれた部分の面積を求めます。

$f(x) = -(x-3)^2$ と x軸との交点は $x=3$ のみです。

接線 $l: y=4x-8$ と x軸との交点は $4x-8=0$ より $x=2$ です。

求める面積は

$\int_2^3 (0 - (4x-8)) dx + \int_3^4 (-(x-3)^2 - 0) dx$ではありません。

グラフを描いて考えると、求める面積は

$\int_2^3 (-(x-3)^2 - (4x-8)) dx$

$=\int_2^3 (-x^2+6x-9 - 4x+8) dx$

$=\int_2^3 (-x^2+2x-1) dx$

$=[-\frac{1}{3}x^3 + x^2 - x]_2^3$

$=(-\frac{1}{3}(3)^3 + (3)^2 - 3) - (-\frac{1}{3}(2)^3 + (2)^2 - 2)$

$=(-9+9-3) - (-\frac{8}{3}+4-2) = -3 - (-\frac{8}{3}+2)$

$=-3 + \frac{8}{3} - 2 = \frac{8}{3} - 5 = \frac{8-15}{3} = -\frac{7}{3}$

面積なので絶対値を取り $\frac{7}{3}$ となります。

3. 最終的な答え

ア: 4

イウ: -9

エ: 1

オ: 3

カ: 7

キ: 3