座標平面上に、円 $K_a: x^2 + y^2 - 2ax - 4ay + 10a - 10 = 0$ がある。ただし、$a$ は定数とする。 (1) $a = 2$ のときの円 $K_2$ の中心の座標と半径を求める。 (2) 円 $K_a$ の半径の最小値と、そのときの $a$ の値を求める。 (3) 円 $K_a$ が $a$ の値にかかわらず通る、円と直線の交点 A, B を求め、A, B のうち第1象限にある点の座標を求める。 (4) $1 \le a \le 2$ の範囲で変化するとき、円 $K_a$ が通過する領域を D とする。 (5) 領域 D の面積を求める。 (6) $C(3, 5)$ とし、点 P(x, y) が D 内を動くとき、$OP^2 + CP^2$ の最小値を求める。

1. 問題の内容

座標平面上に、円 $K_a: x^2 + y^2 - 2ax - 4ay + 10a - 10 = 0$ がある。ただし、$a$ は定数とする。

(1) $a = 2$ のときの円 $K_2$ の中心の座標と半径を求める。

(2) 円 $K_a$ の半径の最小値と、そのときの $a$ の値を求める。

(3) 円 $K_a$ が $a$ の値にかかわらず通る、円と直線の交点 A, B を求め、A, B のうち第1象限にある点の座標を求める。

(4) $1 \le a \le 2$ の範囲で変化するとき、円 $K_a$ が通過する領域を D とする。

(5) 領域 D の面積を求める。

(6) $C(3, 5)$ とし、点 P(x, y) が D 内を動くとき、$OP^2 + CP^2$ の最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $a = 2$ を円の方程式に代入すると、

$x^2 + y^2 - 4x - 8y + 20 - 10 = 0$

$x^2 - 4x + y^2 - 8y + 10 = 0$

$(x - 2)^2 - 4 + (y - 4)^2 - 16 + 10 = 0$

$(x - 2)^2 + (y - 4)^2 = 10$

よって、中心の座標は (2, 4) であり、半径は $\sqrt{10}$ である。

(2) 円の方程式を平方完成すると、

$(x - a)^2 - a^2 + (y - 2a)^2 - 4a^2 + 10a - 10 = 0$

$(x - a)^2 + (y - 2a)^2 = 5a^2 - 10a + 10$

半径の2乗は $r^2 = 5a^2 - 10a + 10 = 5(a^2 - 2a) + 10 = 5(a - 1)^2 - 5 + 10 = 5(a - 1)^2 + 5$

$r^2$ は $a = 1$ のとき最小値 5 をとる。よって、半径の最小値は $\sqrt{5}$ であり、そのときの $a$ の値は 1 である。

(3) 円の方程式を変形する。

$x^2 + y^2 - 2ax - 4ay + 10a - 10 = 0$

$x^2 + y^2 - 10 + a(-2x - 4y + 10) = 0$

$a$ の値にかかわらず成り立つためには、以下の連立方程式を満たす必要がある。

$x^2 + y^2 - 10 = 0$

$-2x - 4y + 10 = 0$ すなわち $x + 2y - 5 = 0$

$x = 5 - 2y$ を $x^2 + y^2 - 10 = 0$ に代入すると、

$(5 - 2y)^2 + y^2 - 10 = 0$

$25 - 20y + 4y^2 + y^2 - 10 = 0$

$5y^2 - 20y + 15 = 0$

$y^2 - 4y + 3 = 0$

$(y - 1)(y - 3) = 0$

$y = 1, 3$

$y = 1$ のとき $x = 5 - 2 = 3$

$y = 3$ のとき $x = 5 - 6 = -1$

よって、交点は (3, 1) と (-1, 3) である。第1象限にある点の座標は (3, 1) である。

円は、$x^2+y^2-10=0$と直線$x+2y-5=0$の交点を通るので、$x^2+y^2-10 + k(x+2y-5)=0$。

4. 最終的な答え

(1) 中心：(2, 4), 半径：$\sqrt{10}$

(2) 最小値：$\sqrt{5}$, $a = 1$

(3) (3, 1)