全体集合 $U$ とその部分集合 $A$, $B$ について、以下の情報が与えられています。 - $n(U) = 60$ - $n(A) = 30$ - $n(B) = 16$ - $n(A \cap B) = 9$ このとき、次の個数を求めます。 (1) $n(\overline{A} \cup \overline{B})$ (4) $n(\overline{A \cup B})$ (5) $n(\overline{A} \cap B)$

1. 問題の内容

全体集合 $U$ とその部分集合 $A$, $B$ について、以下の情報が与えられています。

- $n(U) = 60$

- $n(A) = 30$

- $n(B) = 16$

- $n(A \cap B) = 9$

このとき、次の個数を求めます。

(1) $n(\overline{A} \cup \overline{B})$

(4) $n(\overline{A \cup B})$

(5) $n(\overline{A} \cap B)$

2. 解き方の手順

(1) $n(\overline{A} \cup \overline{B})$ を求める。ド・モルガンの法則より、$\overline{A} \cup \overline{B} = \overline{A \cap B}$ なので、$n(\overline{A} \cup \overline{B}) = n(\overline{A \cap B})$ となります。

$n(\overline{A \cap B}) = n(U) - n(A \cap B)$ なので、与えられた値を使って計算します。

(4) $n(\overline{A \cup B})$ を求める。これは $n(U) - n(A \cup B)$ と同じです。

$n(A \cup B)$ は、包含と排除の原理より $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ で求められます。

$n(A \cup B)$ を求めた後、$n(\overline{A \cup B}) = n(U) - n(A \cup B)$ で計算します。

(5) $n(\overline{A} \cap B)$ を求める。$\overline{A} \cap B$ は $B - A$ と同じなので、$n(\overline{A} \cap B) = n(B) - n(A \cap B)$ で計算します。

(1)

$n(\overline{A} \cup \overline{B}) = n(\overline{A \cap B}) = n(U) - n(A \cap B) = 60 - 9 = 51$

(4)

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 30 + 16 - 9 = 37$

$n(\overline{A \cup B}) = n(U) - n(A \cup B) = 60 - 37 = 23$

(5)

$n(\overline{A} \cap B) = n(B) - n(A \cap B) = 16 - 9 = 7$

3. 最終的な答え

(1) $n(\overline{A} \cup \overline{B}) = 51$

(4) $n(\overline{A \cup B}) = 23$

(5) $n(\overline{A} \cap B) = 7$