中心が $(2, 5)$ で、円 $x^2 + y^2 - 2y - 4 = 0$ に接する円の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

中心が $(2, 5)$ で、円 $x^2 + y^2 - 2y - 4 = 0$ に接する円の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた円の方程式を平方完成して、中心と半径を求めます。

$x^2 + y^2 - 2y - 4 = 0$

$x^2 + (y^2 - 2y) - 4 = 0$

$x^2 + (y^2 - 2y + 1) - 1 - 4 = 0$

$x^2 + (y - 1)^2 = 5$

よって、与えられた円の中心は $(0, 1)$ で、半径は $\sqrt{5}$ です。

次に、求める円の中心 $(2, 5)$ と与えられた円の中心 $(0, 1)$ の距離を求めます。

中心間の距離 $d$ は、

$d = \sqrt{(2 - 0)^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

求める円の半径を $r$ とします。二つの円が接するということは、中心間の距離 $d$ が二つの円の半径の和または差に等しいことを意味します。

$d = |r \pm \sqrt{5}|$

$2\sqrt{5} = |r \pm \sqrt{5}|$

ここで2つの場合を考えます。

1. $2\sqrt{5} = r + \sqrt{5}$ の場合

$r = 2\sqrt{5} - \sqrt{5} = \sqrt{5}$

2. $2\sqrt{5} = |r - \sqrt{5}|$ の場合

$r - \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$ または $r - \sqrt{5} = -2\sqrt{5}$

$r = 3\sqrt{5}$ または $r = -\sqrt{5}$. 半径は正なので、$r = 3\sqrt{5}$

求める円の方程式は $(x - 2)^2 + (y - 5)^2 = r^2$ です。

$r = \sqrt{5}$ のとき、 $(x - 2)^2 + (y - 5)^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$

$r = 3\sqrt{5}$ のとき、 $(x - 2)^2 + (y - 5)^2 = (3\sqrt{5})^2 = 45$

3. 最終的な答え

$(x - 2)^2 + (y - 5)^2 = 5$

または

$(x - 2)^2 + (y - 5)^2 = 45$