三角形ABCがあり、それぞれの頂点の位置ベクトルは$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$です。辺BC, CA, ABを3:2に内分する点をそれぞれD, E, Fとします。三角形DEFの重心Gの位置ベクトル$\vec{g}$を$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$を用いて表してください。

1. 問題の内容

三角形ABCがあり、それぞれの頂点の位置ベクトルは$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$です。辺BC, CA, ABを3:2に内分する点をそれぞれD, E, Fとします。三角形DEFの重心Gの位置ベクトル$\vec{g}$を$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$を用いて表してください。

2. 解き方の手順

まず、点D, E, Fの位置ベクトルを求めます。

* 点Dは辺BCを3:2に内分するので、

$\vec{d} = \frac{2\vec{b} + 3\vec{c}}{3+2} = \frac{2\vec{b} + 3\vec{c}}{5}$

* 点Eは辺CAを3:2に内分するので、

$\vec{e} = \frac{2\vec{c} + 3\vec{a}}{3+2} = \frac{2\vec{c} + 3\vec{a}}{5}$

* 点Fは辺ABを3:2に内分するので、

$\vec{f} = \frac{2\vec{a} + 3\vec{b}}{3+2} = \frac{2\vec{a} + 3\vec{b}}{5}$

次に、三角形DEFの重心Gの位置ベクトル$\vec{g}$を求めます。重心の位置ベクトルは、各頂点の位置ベクトルの平均です。

$\vec{g} = \frac{\vec{d} + \vec{e} + \vec{f}}{3}$

$\vec{g} = \frac{1}{3} (\frac{2\vec{b} + 3\vec{c}}{5} + \frac{2\vec{c} + 3\vec{a}}{5} + \frac{2\vec{a} + 3\vec{b}}{5})$

$\vec{g} = \frac{1}{15}(2\vec{b} + 3\vec{c} + 2\vec{c} + 3\vec{a} + 2\vec{a} + 3\vec{b})$

$\vec{g} = \frac{1}{15}(5\vec{a} + 5\vec{b} + 5\vec{c})$

$\vec{g} = \frac{5(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})}{15}$

$\vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$

3. 最終的な答え

$\vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$