$x$軸上を運動する2つの物体A, Bの$x$-$t$グラフが与えられている。2つの物体の衝突地点と衝突時刻を求めよ。物体の位置はそれぞれ、$A: x = at + c$、$B: x = bt + d$で表されている。

1. 問題の内容

$x$軸上を運動する2つの物体A, Bの$x$-$t$グラフが与えられている。2つの物体の衝突地点と衝突時刻を求めよ。物体の位置はそれぞれ、$A: x = at + c$、$B: x = bt + d$で表されている。

2. 解き方の手順

2つの物体が衝突するということは、ある時刻$t$において、それぞれの位置$x$が等しくなるということである。したがって、以下の式が成り立つ。

$at + c = bt + d$

この式を$t$について解く。

$at - bt = d - c$

$(a-b)t = d-c$

$t = \frac{d-c}{a-b}$

衝突時刻$t$が求まったので、これを物体AまたはBの位置の式に代入して、衝突地点$x$を求める。ここでは物体Aの位置の式に代入する。

$x = a \left(\frac{d-c}{a-b}\right) + c$

$x = \frac{a(d-c)}{a-b} + c$

$x = \frac{a(d-c) + c(a-b)}{a-b}$

$x = \frac{ad - ac + ac - bc}{a-b}$

$x = \frac{ad - bc}{a-b}$

3. 最終的な答え

衝突時刻: $t = \frac{d-c}{a-b}$

衝突地点: $x = \frac{ad - bc}{a-b}$