$\overrightarrow{OA} = \vec{a} - 2\vec{b}$, $\overrightarrow{OB} = 3\vec{a} - 5\vec{b}$, $\overrightarrow{OC} = -5\vec{a} + 7\vec{b}$ であるとき、$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ を用いて表しなさい。ただし、$\vec{a} \neq \vec{0}$, $\vec{b} \neq \vec{0}$ であり、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は平行ではない。

1. 問題の内容

$\overrightarrow{OA} = \vec{a} - 2\vec{b}$, $\overrightarrow{OB} = 3\vec{a} - 5\vec{b}$, $\overrightarrow{OC} = -5\vec{a} + 7\vec{b}$ であるとき、$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ を用いて表しなさい。ただし、$\vec{a} \neq \vec{0}$, $\vec{b} \neq \vec{0}$ であり、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は平行ではない。

2. 解き方の手順

まず、$\overrightarrow{AB}$ を求めます。

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$

$\overrightarrow{AB} = (3\vec{a} - 5\vec{b}) - (\vec{a} - 2\vec{b})$

$\overrightarrow{AB} = 3\vec{a} - 5\vec{b} - \vec{a} + 2\vec{b}$

$\overrightarrow{AB} = (3 - 1)\vec{a} + (-5 + 2)\vec{b}$

$\overrightarrow{AB} = 2\vec{a} - 3\vec{b}$

次に、$\overrightarrow{AC}$ を求めます。

$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA}$

$\overrightarrow{AC} = (-5\vec{a} + 7\vec{b}) - (\vec{a} - 2\vec{b})$

$\overrightarrow{AC} = -5\vec{a} + 7\vec{b} - \vec{a} + 2\vec{b}$

$\overrightarrow{AC} = (-5 - 1)\vec{a} + (7 + 2)\vec{b}$

$\overrightarrow{AC} = -6\vec{a} + 9\vec{b}$

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{AB} = 2\vec{a} - 3\vec{b}$

$\overrightarrow{AC} = -6\vec{a} + 9\vec{b}$