質量 $0.10 \text{ kg}$ の小球 A が $3.0 \text{ m/s}$ の速度で進み、同じ直線上を小球 A と逆向きに質量 $0.20 \text{ kg}$ の小球 B が $2.0 \text{ m/s}$ の速度で進んできて衝突した。反発係数が $0.80$ のとき、小球 A および B がどちら向きに、どんな速さで進むかを求める。衝突前の小球 A の速度の向きを正とする。

1. 問題の内容

質量 $0.10 \text{ kg}$ の小球 A が $3.0 \text{ m/s}$ の速度で進み、同じ直線上を小球 A と逆向きに質量 $0.20 \text{ kg}$ の小球 B が $2.0 \text{ m/s}$ の速度で進んできて衝突した。反発係数が $0.80$ のとき、小球 A および B がどちら向きに、どんな速さで進むかを求める。衝突前の小球 A の速度の向きを正とする。

2. 解き方の手順

衝突後の小球 A の速度を $v_A$, 小球 B の速度を $v_B$ とする。

運動量保存の法則より、

$m_A v_{A0} + m_B v_{B0} = m_A v_A + m_B v_B$

ここに、

$m_A = 0.10 \text{ kg}$, $v_{A0} = 3.0 \text{ m/s}$

$m_B = 0.20 \text{ kg}$, $v_{B0} = -2.0 \text{ m/s}$ (A の進行方向を正とするため、B の速度は負)

を代入すると

$0.10 \times 3.0 + 0.20 \times (-2.0) = 0.10 \times v_A + 0.20 \times v_B$

$0.3 - 0.4 = 0.1 v_A + 0.2 v_B$

$-0.1 = 0.1 v_A + 0.2 v_B$

$v_A + 2 v_B = -1$ ...(1)

反発係数の式は

$e = -\frac{v_A - v_B}{v_{A0} - v_{B0}}$

$0.80 = -\frac{v_A - v_B}{3.0 - (-2.0)}$

$0.80 = -\frac{v_A - v_B}{5.0}$

$v_A - v_B = -4.0$ ...(2)

(1) - (2) より

$(v_A + 2v_B) - (v_A - v_B) = -1 - (-4)$

$3 v_B = 3$

$v_B = 1.0 \text{ m/s}$

(2) に代入して

$v_A - 1.0 = -4.0$

$v_A = -3.0 \text{ m/s}$

したがって、小球 A は衝突前の進行方向と逆向きに $3.0 \text{ m/s}$ で進み、小球 B は衝突前の小球 A の進行方向に $1.0 \text{ m/s}$ で進む。

3. 最終的な答え

小球A：衝突前の進行方向と逆向きに $3.0 \text{ m/s}$

小球B：衝突前の小球Aの進行方向に $1.0 \text{ m/s}$