$\triangle ABC$ において、$BC = 4$, $CA = 5$, $AB = 6$ とする。重心を $G$, 内心を $I$, 垂心を $H$, 外心を $O$ とするとき、ベクトル $\overrightarrow{AG}$, $\overrightarrow{AI}$, $\overrightarrow{AH}$, $\overrightarrow{AO}$ をそれぞれ $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ で表す。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、$BC = 4$, $CA = 5$, $AB = 6$ とする。重心を $G$, 内心を $I$, 垂心を $H$, 外心を $O$ とするとき、ベクトル $\overrightarrow{AG}$, $\overrightarrow{AI}$, $\overrightarrow{AH}$, $\overrightarrow{AO}$ をそれぞれ $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ で表す。

2. 解き方の手順

(1) 重心 $G$ について、$\overrightarrow{AG} = \frac{1}{3} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AA}) = \frac{1}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{0}) = \frac{1}{3} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$ である。

(2) 内心 $I$ について、$\overrightarrow{AI} = \frac{BC \cdot \overrightarrow{AB} + AB \cdot \overrightarrow{AC}}{AB + BC + CA}$ である。

よって、$\overrightarrow{AI} = \frac{4 \cdot \overrightarrow{AB} + 6 \cdot \overrightarrow{AC}}{6 + 4 + 5} = \frac{4}{15} \overrightarrow{AB} + \frac{6}{15} \overrightarrow{AC} = \frac{4}{15} \overrightarrow{AB} + \frac{2}{5} \overrightarrow{AC}$ となる。

(3) 垂心 $H$ を求めるためには、$\overrightarrow{AH} = s \overrightarrow{AB} + t \overrightarrow{AC}$ とおき、$\overrightarrow{BH} \perp \overrightarrow{AC}$ かつ $\overrightarrow{CH} \perp \overrightarrow{AB}$ を利用する。

$\overrightarrow{BH} = \overrightarrow{AH} - \overrightarrow{AB} = (s - 1) \overrightarrow{AB} + t \overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{CH} = \overrightarrow{AH} - \overrightarrow{AC} = s \overrightarrow{AB} + (t - 1) \overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{BH} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$ より、

$((s - 1) \overrightarrow{AB} + t \overrightarrow{AC}) \cdot \overrightarrow{AC} = 0$

$(s - 1) \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} + t |\overrightarrow{AC}|^2 = 0$

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \frac{1}{2}(|\overrightarrow{AB}|^2 + |\overrightarrow{AC}|^2 - |\overrightarrow{BC}|^2) = \frac{1}{2}(36 + 25 - 16) = \frac{45}{2}$

$(s - 1) \frac{45}{2} + 25 t = 0$

$45(s - 1) + 50 t = 0$

$45 s + 50 t = 45$

$9 s + 10 t = 9$ ...(1)

$\overrightarrow{CH} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$ より、

$(s \overrightarrow{AB} + (t - 1) \overrightarrow{AC}) \cdot \overrightarrow{AB} = 0$

$s |\overrightarrow{AB}|^2 + (t - 1) \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$

$36 s + (t - 1) \frac{45}{2} = 0$

$72 s + 45(t - 1) = 0$

$72 s + 45 t = 45$

$8 s + 5 t = 5$ ...(2)

(1) x 2 - (2) x 4 より、

$(18 - 32) s + (20 - 20)t = 18 - 20$

$-14 s = -2$

$s = \frac{1}{7}$

(2) より、

$5 t = 5 - 8 s = 5 - \frac{8}{7} = \frac{35 - 8}{7} = \frac{27}{7}$

$t = \frac{27}{35}$

$\overrightarrow{AH} = \frac{1}{7} \overrightarrow{AB} + \frac{27}{35} \overrightarrow{AC}$

(4) 外心 $O$ について、$|\overrightarrow{OA}| = |\overrightarrow{OB}| = |\overrightarrow{OC}|$ を満たす。$\overrightarrow{AO} = s \overrightarrow{AB} + t \overrightarrow{AC}$ とおくと、$\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AO} = (1 - s) \overrightarrow{AB} - t \overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AO} = -s \overrightarrow{AB} + (1 - t) \overrightarrow{AC}$

$|\overrightarrow{OA}|^2 = |\overrightarrow{OB}|^2$ より、

$|\overrightarrow{AO}|^2 = s^2 |\overrightarrow{AB}|^2 + 2 s t (\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}) + t^2 |\overrightarrow{AC}|^2 = 36 s^2 + 45 s t + 25 t^2$

$|\overrightarrow{OB}|^2 = (1 - s)^2 |\overrightarrow{AB}|^2 - 2 (1 - s) t (\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}) + t^2 |\overrightarrow{AC}|^2 = 36 (1 - s)^2 - 45 (1 - s) t + 25 t^2$

$36 s^2 + 45 s t + 25 t^2 = 36 (1 - 2 s + s^2) - 45 (t - s t) + 25 t^2$

$0 = 36 - 72 s - 45 t + 45 s t$

$72 s + 45 t - 45 s t = 36$ ...(3)

$|\overrightarrow{OA}|^2 = |\overrightarrow{OC}|^2$ より、

$|\overrightarrow{OC}|^2 = s^2 |\overrightarrow{AB}|^2 - 2 s (1 - t) (\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}) + (1 - t)^2 |\overrightarrow{AC}|^2 = 36 s^2 - 45 s (1 - t) + 25 (1 - t)^2$

$36 s^2 + 45 s t + 25 t^2 = 36 s^2 - 45 s + 45 s t + 25 (1 - 2 t + t^2)$

$0 = -45 s + 25 - 50 t$

$45 s + 50 t = 25$

$9 s + 10 t = 5$ ...(4)

$t = \frac{5 - 9 s}{10}$

(3) に代入

$72 s + 45 (\frac{5 - 9 s}{10}) - 45 s (\frac{5 - 9 s}{10}) = 36$

$720 s + 45 (5 - 9 s) - 45 s (5 - 9 s) = 360$

$720 s + 225 - 405 s - 225 s + 405 s^2 = 360$

$405 s^2 + 90 s - 135 = 0$

$9 s^2 + 2 s - 3 = 0$

$(9 s - 7)(s + 3) = 0$

$(3 s - 1)(3 s + 3) = 0$

$s = -1, 1/3$

$(3s-1)(3s+3) = 0$

$s = \frac{1}{3}$, $s=-1$. $s = \frac{1}{3}$ より、

$t = \frac{5 - 9 \cdot \frac{1}{3}}{10} = \frac{5 - 3}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

$\overrightarrow{AO} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{5} \overrightarrow{AC}$

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{AG} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3} \overrightarrow{AC}$

(2) $\overrightarrow{AI} = \frac{4}{15} \overrightarrow{AB} + \frac{2}{5} \overrightarrow{AC}$

(3) $\overrightarrow{AH} = \frac{1}{7} \overrightarrow{AB} + \frac{27}{35} \overrightarrow{AC}$

(4) $\overrightarrow{AO} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{5} \overrightarrow{AC}$