関数 $f(t) = \int_{t}^{t+1} |x(x-2)| dx$ が与えられたとき、以下の問題を解く。 (1) $0 \le t \le 1$ のとき、$f(t)$ を求める。 (2) $1 < t \le 2$ のとき、$f(t)$ を求める。 (3) $0 \le t \le 2$ のとき、$f(t)$ が最大値、最小値をとるときの $t$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(t) = \int_{t}^{t+1} |x(x-2)| dx$ が与えられたとき、以下の問題を解く。

(1) $0 \le t \le 1$ のとき、$f(t)$ を求める。

(2) $1 < t \le 2$ のとき、$f(t)$ を求める。

(3) $0 \le t \le 2$ のとき、$f(t)$ が最大値、最小値をとるときの $t$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $0 \le t \le 1$ のとき

区間 $[t, t+1]$ において、$x=2$ が範囲内にあるかどうかで場合分けをする。

$t \le x \le t+1$ である。

$0 \le t \le 1$ より、$t+1 \le 2$ の場合は、$t+1 \le 2$、つまり $t \le 1$ である。

$0 \le t \le 1$ の場合、$x(x-2) = 0$ となるのは $x=0, 2$ である。

$x(x-2) < 0$ となるのは $0 < x < 2$ のとき、$x(x-2) > 0$ となるのは $x < 0, x > 2$ のときである。

$0 \le t \le 1$ のとき、積分区間は $[t, t+1]$ である。

$t+1$ が2より小さいか大きいかで場合分けする。$t+1 < 2$ なら、$t < 1$ であり、$t+1 > 2$ なら、$t > 1$ である。

$t \le x \le t+1$ なので、$x(x-2)$ の符号が変わるのは、$t < 2 < t+1$ となるときである。

$t \le 2 \le t+1$ ということは、$1 \le t \le 2$ である。

(i) $0 \le t \le 1$ のとき、$x(x-2) < 0$ であるから、

$f(t) = \int_{t}^{t+1} |x(x-2)| dx = \int_{t}^{t+1} -x(x-2) dx = \int_{t}^{t+1} (-x^2+2x) dx = [-\frac{1}{3}x^3 + x^2]_t^{t+1}$

$f(t) = (-\frac{1}{3}(t+1)^3 + (t+1)^2) - (-\frac{1}{3}t^3 + t^2) = -\frac{1}{3}(t^3+3t^2+3t+1) + t^2+2t+1 + \frac{1}{3}t^3 - t^2 = -\frac{1}{3}t^3 - t^2 - t - \frac{1}{3} + t^2 + 2t + 1 + \frac{1}{3}t^3 - t^2 = -t^2 + t + \frac{2}{3}$

(2) $1 < t \le 2$ のとき

このとき、$t \le 2 < t+1$ であるから、積分範囲 $[t, t+1]$ で $x(x-2)$ の符号が変わる。

$f(t) = \int_t^2 x(x-2)dx + \int_2^{t+1} x(x-2)dx = \int_t^2 (-x^2+2x)dx + \int_2^{t+1} (x^2-2x)dx = [-\frac{1}{3}x^3+x^2]_t^2 + [\frac{1}{3}x^3-x^2]_2^{t+1}$

$f(t) = (-\frac{8}{3}+4) - (-\frac{1}{3}t^3+t^2) + (\frac{1}{3}(t+1)^3-(t+1)^2) - (\frac{8}{3}-4) = \frac{4}{3} + \frac{1}{3}t^3 - t^2 + \frac{1}{3}(t^3+3t^2+3t+1) - (t^2+2t+1) + \frac{4}{3} = \frac{8}{3} + \frac{1}{3}t^3 - t^2 + \frac{1}{3}t^3 + t^2 + t + \frac{1}{3} - t^2 - 2t - 1 = \frac{2}{3}t^3 - t^2 - t + \frac{8}{3} + \frac{1}{3} - 1 = \frac{2}{3}t^3 - t^2 - t + 2$

(3) $0 \le t \le 2$ のとき

$f(t) = \begin{cases} -t^2+t+\frac{2}{3} & (0 \le t \le 1) \\ \frac{2}{3}t^3 - t^2 - t + 2 & (1 < t \le 2) \end{cases}$

$f'(t) = \begin{cases} -2t+1 & (0 \le t \le 1) \\ 2t^2-2t-1 & (1 < t \le 2) \end{cases}$

$f'(t) = 0$ となるのは、$0 \le t \le 1$ で $-2t+1=0$ より $t = \frac{1}{2}$、$1 < t \le 2$ で $2t^2-2t-1 = 0$ より $t = \frac{2 \pm \sqrt{4+8}}{4} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$

$1 < t \le 2$ に入るのは $t = \frac{1+\sqrt{3}}{2}$

$f(0) = \frac{2}{3}$, $f(\frac{1}{2}) = -\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\frac{2}{3} = \frac{-3+6+8}{12} = \frac{11}{12}$, $f(1) = -1+1+\frac{2}{3} = \frac{2}{3}$

$f(\frac{1+\sqrt{3}}{2}) = \frac{2}{3}(\frac{1+\sqrt{3}}{2})^3 - (\frac{1+\sqrt{3}}{2})^2 - \frac{1+\sqrt{3}}{2} + 2 = \frac{2}{3}(\frac{1+3\sqrt{3}+9+3\sqrt{3}}{8}) - (\frac{1+2\sqrt{3}+3}{4}) - \frac{1+\sqrt{3}}{2} + 2 = \frac{10+6\sqrt{3}}{12} - \frac{4+2\sqrt{3}}{4} - \frac{1+\sqrt{3}}{2} + 2 = \frac{5+3\sqrt{3}}{6} - \frac{2+\sqrt{3}}{2} - \frac{1+\sqrt{3}}{2} + 2 = \frac{5+3\sqrt{3}}{6} - \frac{3+2\sqrt{3}}{2} + 2 = \frac{5+3\sqrt{3}-9-6\sqrt{3}+12}{6} = \frac{8-3\sqrt{3}}{6}$

$f(2) = \frac{2}{3}(8) - 4 - 2 + 2 = \frac{16}{3} - 4 = \frac{4}{3}$

$f(0) = \frac{2}{3} \approx 0.667$, $f(\frac{1}{2}) = \frac{11}{12} \approx 0.917$, $f(1) = \frac{2}{3} \approx 0.667$

$f(\frac{1+\sqrt{3}}{2}) = \frac{8-3\sqrt{3}}{6} \approx 0.584$, $f(2) = \frac{4}{3} \approx 1.333$

最大値は $f(2) = \frac{4}{3}$, 最小値は $f(\frac{1+\sqrt{3}}{2}) = \frac{8-3\sqrt{3}}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $f(t) = -t^2+t+\frac{2}{3}$ ($0 \le t \le 1$)

(2) $f(t) = \frac{2}{3}t^3 - t^2 - t + 2$ ($1 < t \le 2$)

(3) 最大値をとる $t$ の値は $t=2$, 最小値をとる $t$ の値は $t = \frac{1+\sqrt{3}}{2}$