関数 $f(x) = -2\sin(2x - \frac{\pi}{3}) + 1$ について、グラフの平行移動、値域、軸との交点の座標、個数などを求める問題。また、$g(x) = \frac{1}{\tan x}(x + \frac{n\pi}{2})$ について、$f(x)$と同様にグラフの平行移動、軸との交点の個数などを求める問題。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -2\sin(2x - \frac{\pi}{3}) + 1$ について、グラフの平行移動、値域、軸との交点の座標、個数などを求める問題。また、$g(x) = \frac{1}{\tan x}(x + \frac{n\pi}{2})$ について、$f(x)$と同様にグラフの平行移動、軸との交点の個数などを求める問題。

2. 解き方の手順

(1)

* $f(x)$ の式を $y = A\sin(Bx + C) + D$ の形に変形し、平行移動の量と方向、振幅、周期などを求める。

$f(x) = -2\sin(2x - \frac{\pi}{3}) + 1 = -2\sin(2(x - \frac{\pi}{6})) + 1$ なので、$y = -2\sin(2x)$ をx軸方向に$\frac{\pi}{6}$、y軸方向に1だけ平行移動したものである。よって、アは -2, イは 2, ウは $\frac{\pi}{6}$, エは 1である。

* $y$ の値の取り得る範囲は、$-1 \le \sin(2x - \frac{\pi}{3}) \le 1$ より、$-2 \le -2\sin(2x - \frac{\pi}{3}) \le 2$。よって、$-1 \le -2\sin(2x - \frac{\pi}{3}) + 1 \le 3$。したがって、オカは -1, キは 3。

* $y$軸との交点は $x = 0$ を代入して、$y = -2\sin(-\frac{\pi}{3}) + 1 = -2(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 1 = \sqrt{3} + 1$。よって、クは 1, ケは 3。

* $f(x) = 0$ となる $x$ を求める。$-2\sin(2x - \frac{\pi}{3}) + 1 = 0$ より、$\sin(2x - \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$。$0 \le x < 2\pi$ より、$-\frac{\pi}{3} \le 2x - \frac{\pi}{3} < \frac{11\pi}{3}$。$\sin \theta = \frac{1}{2}$ となる $\theta$ は $\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{13\pi}{6}, \frac{17\pi}{6}$。

$2x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} \Rightarrow 2x = \frac{\pi}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{4}$

$2x - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} \Rightarrow 2x = \frac{7\pi}{6} \Rightarrow x = \frac{7\pi}{12}$

$2x - \frac{\pi}{3} = \frac{13\pi}{6} \Rightarrow 2x = \frac{15\pi}{6} \Rightarrow x = \frac{5\pi}{4}$

$2x - \frac{\pi}{3} = \frac{17\pi}{6} \Rightarrow 2x = \frac{19\pi}{6} \Rightarrow x = \frac{19\pi}{12}$

よって、x軸との交点は4個。最も小さいx座標は$\frac{\pi}{4}$。したがって、コは4、サは1、シは4。

(2)

* $\tan(\frac{\pi}{2} - x) = \frac{1}{\tan x}$ であるから、$g(x) = \frac{1}{\tan x}(x + \frac{n\pi}{2}) = \tan(\frac{\pi}{2} - x)(x + \frac{n\pi}{2})$。$n$ が偶数のとき、$n = 2k$ とすると $g(x) = \tan(\frac{\pi}{2} - x)(x + k\pi)$。このとき、$g(x)$ のグラフは $y = \tan(\frac{\pi}{2} - x) = \frac{1}{\tan x}$ のグラフを x 軸方向に $-k\pi$ だけ平行移動したものとなる。$n$ が奇数のとき、$n = 2k+1$ とすると $g(x) = \tan(\frac{\pi}{2} - x)(x + \frac{(2k+1)\pi}{2})$。

$y = \tan(\frac{\pi}{2} - x)$。

$\tan(\frac{\pi}{2}-x) = \frac{1}{\tan x}$ を利用すると、$y - g(x)$ のグラフは、$y = \frac{1}{\tan x}$ のグラフを x 軸方向に $-\frac{n\pi}{2}$ 平行移動したものとなる。

* セは $\frac{1}{\tan x}$、ソは$\frac{n\pi}{2}$。

* $0 < x < \pi, x \ne \frac{\pi}{2}$ で $y = g(x)$ と $y = \tan x$ の交点を求める。

$\tan x = \frac{1}{\tan x}(x + \frac{n\pi}{2})$

$(\tan x)^2 = x + \frac{n\pi}{2}$

この範囲で $y = \tan x$ のグラフと $y = \frac{1}{\tan x}$ のグラフは 2 つの交点を持つ。小さい方の x 座標は 0 に近づくので、座標は$(\frac{\pi}{4}, 1)$.

* タは 2, チは $\pi$, ツは4。

3. 最終的な答え

(1) ア: -2, イ: 2, ウ: $\frac{\pi}{6}$, エ: 1, オカ: -1, キ: 3, ク: 1, ケ: 3, コ: 4, サシ: $\frac{\pi}{4}$

(2) セ: $\frac{1}{\tan x}$, ソ: $\frac{n\pi}{2}$, タ: 2, チツ: $(\frac{\pi}{4}, 1)$