定積分 $\int_{1}^{9} \frac{(1+\sqrt{x})^2}{x} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{9} \frac{(1+\sqrt{x})^2}{x} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を展開します。

$(1+\sqrt{x})^2 = 1 + 2\sqrt{x} + x$

したがって、

$\frac{(1+\sqrt{x})^2}{x} = \frac{1 + 2\sqrt{x} + x}{x} = \frac{1}{x} + \frac{2\sqrt{x}}{x} + \frac{x}{x} = \frac{1}{x} + \frac{2}{\sqrt{x}} + 1$

よって、積分は次のようになります。

$\int_{1}^{9} \frac{(1+\sqrt{x})^2}{x} dx = \int_{1}^{9} \left( \frac{1}{x} + \frac{2}{\sqrt{x}} + 1 \right) dx$

各項を積分します。

$\int \frac{1}{x} dx = \ln|x|$

$\int \frac{2}{\sqrt{x}} dx = 2 \int x^{-1/2} dx = 2 \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} = 4\sqrt{x}$

$\int 1 dx = x$

したがって、

$\int_{1}^{9} \left( \frac{1}{x} + \frac{2}{\sqrt{x}} + 1 \right) dx = \left[ \ln|x| + 4\sqrt{x} + x \right]_{1}^{9}$

積分範囲の端点を代入します。

$\left[ \ln|9| + 4\sqrt{9} + 9 \right] - \left[ \ln|1| + 4\sqrt{1} + 1 \right] = (\ln 9 + 4(3) + 9) - (\ln 1 + 4(1) + 1)$

$\ln 9 + 12 + 9 - (0 + 4 + 1) = \ln 9 + 21 - 5 = \ln 9 + 16$

$\ln 9 = \ln 3^2 = 2\ln 3$

したがって、

$\ln 9 + 16 = 2\ln 3 + 16$

3. 最終的な答え

$16 + 2\ln 3$