$\int_{2}^{3} \frac{dx}{x(x+2)}$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\int_{2}^{3} \frac{dx}{x(x+2)}$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を部分分数分解します。

$\frac{1}{x(x+2)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+2}$ とおきます。

両辺に $x(x+2)$ をかけると、

$1 = A(x+2) + Bx$

$1 = (A+B)x + 2A$

したがって、$A+B = 0$ かつ $2A = 1$。

$A = \frac{1}{2}$ であり、$B = -A = -\frac{1}{2}$。

よって、$\frac{1}{x(x+2)} = \frac{1}{2x} - \frac{1}{2(x+2)}$

積分は以下のようになります。

$\int_{2}^{3} \frac{dx}{x(x+2)} = \int_{2}^{3} \left( \frac{1}{2x} - \frac{1}{2(x+2)} \right) dx$

$= \frac{1}{2} \int_{2}^{3} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x+2} \right) dx$

$= \frac{1}{2} \left[ \ln|x| - \ln|x+2| \right]_{2}^{3}$

$= \frac{1}{2} \left[ \ln\left| \frac{x}{x+2} \right| \right]_{2}^{3}$

$= \frac{1}{2} \left( \ln\left( \frac{3}{5} \right) - \ln\left( \frac{2}{4} \right) \right)$

$= \frac{1}{2} \left( \ln\left( \frac{3}{5} \right) - \ln\left( \frac{1}{2} \right) \right)$

$= \frac{1}{2} \left( \ln\left( \frac{3}{5} \right) + \ln(2) \right)$

$= \frac{1}{2} \ln\left( \frac{3}{5} \cdot 2 \right)$

$= \frac{1}{2} \ln\left( \frac{6}{5} \right)$

$= \ln\left( \sqrt{\frac{6}{5}} \right)$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} \ln\left(\frac{6}{5}\right)$