$\theta$ が鋭角で、$\tan \theta = 2$ のとき、$\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan(90^\circ - \theta)$ の値を求める。

1. 問題の内容

$\theta$ が鋭角で、$\tan \theta = 2$ のとき、$\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan(90^\circ - \theta)$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\tan \theta$ の定義から、直角三角形における対辺と隣辺の比が2:1であることを利用します。

ピタゴラスの定理を用いて斜辺の長さを求めます。

斜辺を$r$とすると、

$r^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$

$r = \sqrt{5}$

したがって、$\sin \theta = \frac{\text{対辺}}{\text{斜辺}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

$\cos \theta = \frac{\text{隣辺}}{\text{斜辺}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

次に、$\tan(90^\circ - \theta)$を求めます。

$\tan(90^\circ - \theta) = \frac{\sin(90^\circ - \theta)}{\cos(90^\circ - \theta)} = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{1}{\tan \theta}$

$\tan(90^\circ - \theta) = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\sin \theta = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

$\cos \theta = \frac{\sqrt{5}}{5}$

$\tan(90^\circ - \theta) = \frac{1}{2}$