与えられた2つのベクトル $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ に対して、外積 $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ を求め、さらに、$\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ を二辺とする平行四辺形の面積 $S$ を求めよ。4つの問題があります。

1. 問題の内容

与えられた2つのベクトル $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ に対して、外積 $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ を求め、さらに、$\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ を二辺とする平行四辺形の面積 $S$ を求めよ。4つの問題があります。

2. 解き方の手順

外積の定義と、平行四辺形の面積の関係を利用して解きます。

外積 $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ は、$\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)$、$\mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)$ とすると、次のように計算できます。

$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)$

平行四辺形の面積 $S$ は、外積の絶対値 $|\mathbf{a} \times \mathbf{b}|$ で与えられます。

$S = |\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = \sqrt{(a_2b_3 - a_3b_2)^2 + (a_3b_1 - a_1b_3)^2 + (a_1b_2 - a_2b_1)^2}$

各問題について、外積を計算し、その絶対値を求めます。

(1) $\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$, $\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}$

$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (2 \cdot 3 - 3 \cdot 1, 3 \cdot 1 - 1 \cdot 3, 1 \cdot 1 - 2 \cdot 1) = (6 - 3, 3 - 3, 1 - 2) = (3, 0, -1)$

$S = |\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = \sqrt{3^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 0 + 1} = \sqrt{10}$

(2) $\mathbf{a} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}$, $\mathbf{b} = \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}$

$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (1 \cdot 3 - 4 \cdot 0, 4 \cdot (-2) - (-2) \cdot 3, (-2) \cdot 0 - 1 \cdot (-2)) = (3 - 0, -8 + 6, 0 + 2) = (3, -2, 2)$

$S = |\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4 + 4} = \sqrt{17}$

(3) $\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$, $\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}$

$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (0 \cdot 5 - (-1) \cdot 1, (-1) \cdot 2 - 2 \cdot 5, 2 \cdot 1 - 0 \cdot 2) = (0 + 1, -2 - 10, 2 - 0) = (1, -12, 2)$

$S = |\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = \sqrt{1^2 + (-12)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 144 + 4} = \sqrt{149}$

(4) $\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}$, $\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (3 \cdot 1 - 4 \cdot 3, 4 \cdot 0 - 2 \cdot 1, 2 \cdot 3 - 3 \cdot 0) = (3 - 12, 0 - 2, 6 - 0) = (-9, -2, 6)$

$S = |\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = \sqrt{(-9)^2 + (-2)^2 + 6^2} = \sqrt{81 + 4 + 36} = \sqrt{121} = 11$

3. 最終的な答え

(1) $S = \sqrt{10}$

(2) $S = \sqrt{17}$

(3) $S = \sqrt{149}$

(4) $S = 11$