一辺の長さが2の正六角形 $A_1$ の面積を $S_1$ とおく。$A_1$ の各辺の中点を頂点とする正六角形を $A_2$ とし、その面積を $S_2$ とおく。 (1) $S_1$ と $S_2$ を求めよ。 (2) $n=3, 4, 5, \dots$ に対して、$A_{n-1}$ の各辺の中点を頂点とする正六角形を $A_n$ とし、その面積を $S_n$ とおく。数列 $\{S_n\}$ の一般項を求めよ。

1. 問題の内容

一辺の長さが2の正六角形 $A_1$ の面積を $S_1$ とおく。$A_1$ の各辺の中点を頂点とする正六角形を $A_2$ とし、その面積を $S_2$ とおく。

(1) $S_1$ と $S_2$ を求めよ。

(2) $n=3, 4, 5, \dots$ に対して、$A_{n-1}$ の各辺の中点を頂点とする正六角形を $A_n$ とし、その面積を $S_n$ とおく。数列 $\{S_n\}$ の一般項を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 正六角形の面積の公式を使う。正六角形は、一辺の長さが等しい正三角形6個に分割できる。一辺の長さが $a$ の正三角形の面積は $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ であるから、正六角形の面積は $6 \times \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2$ で計算できる。

$A_1$ は一辺の長さが2なので、$S_1 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times 2^2 = 6\sqrt{3}$ となる。

$A_2$ は $A_1$ の各辺の中点を頂点とする正六角形である。$A_2$ の一辺の長さを $x$ とすると、余弦定理より $x^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \times 1 \times 1 \times \cos{120^\circ} = 1 + 1 - 2 \times (-\frac{1}{2}) = 1 + 1 + 1 = 3$。よって、$x = \sqrt{3}$。

したがって、$S_2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times (\sqrt{3})^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times 3 = \frac{9\sqrt{3}}{2}$ となる。

(2) $A_n$ の一辺の長さを $a_n$ とすると、$a_1 = 2$, $a_2 = \sqrt{3}$。

$A_{n-1}$ の一辺の長さを $a_{n-1}$ とすると、$A_n$ の一辺の長さ $a_n$ は、$a_n^2 = (\frac{a_{n-1}}{2})^2 + (\frac{a_{n-1}}{2})^2 - 2 \times \frac{a_{n-1}}{2} \times \frac{a_{n-1}}{2} \cos{120^\circ} = \frac{a_{n-1}^2}{4} + \frac{a_{n-1}^2}{4} + \frac{a_{n-1}^2}{4} = \frac{3}{4} a_{n-1}^2$。よって、$a_n = \frac{\sqrt{3}}{2} a_{n-1}$。

これは等比数列であり、$a_n = 2 \times (\frac{\sqrt{3}}{2})^{n-1}$。

したがって、$S_n = \frac{3\sqrt{3}}{2} a_n^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times (2 \times (\frac{\sqrt{3}}{2})^{n-1})^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times 4 \times (\frac{3}{4})^{n-1} = 6\sqrt{3} \times (\frac{3}{4})^{n-1}$。

3. 最終的な答え

(1) $S_1 = 6\sqrt{3}$, $S_2 = \frac{9\sqrt{3}}{2}$

(2) $S_n = 6\sqrt{3} (\frac{3}{4})^{n-1}$