平面上の異なる2点A, Bがある。点Pが以下の二つの不等式を同時に満たすとき、点Pの存在する範囲を図示する。 $\begin{cases} \overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{BP} < 0 \\ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AP} > \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BP} \end{cases}$

1. 問題の内容

平面上の異なる2点A, Bがある。点Pが以下の二つの不等式を同時に満たすとき、点Pの存在する範囲を図示する。

$\begin{cases}

\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{BP} < 0 \\

\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AP} > \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BP}

\end{cases}$

2. 解き方の手順

まず、1つ目の不等式 $\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{BP} < 0$ を考える。

これは、ベクトル $\overrightarrow{AP}$ と $\overrightarrow{BP}$ のなす角が鈍角であることを意味する。つまり、点Pは線分ABを直径とする円の外部にある（ただし、円周上は含まない）。

次に、2つ目の不等式 $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AP} > \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BP}$ を変形する。

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AP} > \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BP}$

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AP} > - \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BP}$

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AP} + \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BP} > 0$

$\overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AP} + \overrightarrow{BP}) > 0$

ここで、線分ABの中点をMとすると、$\overrightarrow{AP} + \overrightarrow{BP} = 2 \overrightarrow{MP}$ となる。

$\overrightarrow{AB} \cdot (2 \overrightarrow{MP}) > 0$

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{MP} > 0$

これは、ベクトル $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{MP}$ のなす角が鋭角であることを意味する。つまり、点Pは線分ABの垂直二等分線に対して、点Bと同じ側にある。

したがって、求める領域は、線分ABを直径とする円の外部で、かつ線分ABの垂直二等分線に対して点Bと同じ側にある領域である。ただし、円周上および垂直二等分線は含まない。

3. 最終的な答え

点Pの存在する範囲は、線分ABを直径とする円の外部で、かつ線分ABの垂直二等分線に対して点Bと同じ側にある領域である（境界を含まず）。