四面体OABCにおいて、点Oから平面ABCに下ろした垂線の足をHとする。このとき、$\vec{OH} = \alpha\vec{OA} + \beta\vec{OB} + \gamma\vec{OC}$ と表される。このとき、$\alpha + \beta + \gamma = 1$ となる理由を説明せよ。

1. 問題の内容

四面体OABCにおいて、点Oから平面ABCに下ろした垂線の足をHとする。このとき、$\vec{OH} = \alpha\vec{OA} + \beta\vec{OB} + \gamma\vec{OC}$ と表される。このとき、$\alpha + \beta + \gamma = 1$ となる理由を説明せよ。

2. 解き方の手順

点Hが平面ABC上にあることから、$\vec{AH}$ は $\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ の線形結合で表せる。

$\vec{AH} = s\vec{AB} + t\vec{AC}$ （s, tは実数）

と表せる。

$\vec{OH} = \vec{OA} + \vec{AH}$ であるから、

$\vec{OH} = \vec{OA} + s\vec{AB} + t\vec{AC}$

$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}$

$\vec{AC} = \vec{OC} - \vec{OA}$

であるから、

$\vec{OH} = \vec{OA} + s(\vec{OB} - \vec{OA}) + t(\vec{OC} - \vec{OA})$

$\vec{OH} = \vec{OA} + s\vec{OB} - s\vec{OA} + t\vec{OC} - t\vec{OA}$

$\vec{OH} = (1-s-t)\vec{OA} + s\vec{OB} + t\vec{OC}$

問題文より、

$\vec{OH} = \alpha\vec{OA} + \beta\vec{OB} + \gamma\vec{OC}$

係数を比較すると、

$\alpha = 1 - s - t$

$\beta = s$

$\gamma = t$

よって、

$\alpha + \beta + \gamma = (1-s-t) + s + t = 1$

3. 最終的な答え

点Hが平面ABC上にあることから、$\alpha + \beta + \gamma = 1$ となる。