点Aの位置ベクトル $\vec{a}$ が与えられているとき、次のベクトル方程式において点Pの位置ベクトル $\vec{p}$ の全体が円となる。それぞれの円の中心の位置ベクトルと半径を求めよ。 (1) $|\vec{p} - 4\vec{a}| = 1$ (2) $|3\vec{p} + 2\vec{a}| = 12$

1. 問題の内容

点Aの位置ベクトル $\vec{a}$ が与えられているとき、次のベクトル方程式において点Pの位置ベクトル $\vec{p}$ の全体が円となる。それぞれの円の中心の位置ベクトルと半径を求めよ。

(1) $|\vec{p} - 4\vec{a}| = 1$

(2) $|3\vec{p} + 2\vec{a}| = 12$

2. 解き方の手順

(1)

与えられた方程式は、

$|\vec{p} - 4\vec{a}| = 1$

これは、点Pと点$(4\vec{a})$との距離が常に1であることを意味する。したがって、点Pは中心の位置ベクトルが$4\vec{a}$、半径が1の円を描く。

(2)

与えられた方程式は、

$|3\vec{p} + 2\vec{a}| = 12$

絶対値の中を3で割ると、

$3|\vec{p} + \frac{2}{3}\vec{a}| = 12$

両辺を3で割ると、

$|\vec{p} + \frac{2}{3}\vec{a}| = 4$

$|\vec{p} - (-\frac{2}{3}\vec{a})| = 4$

これは、点Pと点$(-\frac{2}{3}\vec{a})$との距離が常に4であることを意味する。したがって、点Pは中心の位置ベクトルが$-\frac{2}{3}\vec{a}$、半径が4の円を描く。

3. 最終的な答え

(1) 中心の位置ベクトル: $4\vec{a}$、半径: 1

(2) 中心の位置ベクトル: $-\frac{2}{3}\vec{a}$、半径: 4