四面体OABCがあり、点Oから平面ABCに下ろした垂線の足をHとします。ベクトル $\overrightarrow{OH}$ は $\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}$ を用いて $\overrightarrow{OH} = \alpha \overrightarrow{OA} + \beta \overrightarrow{OB} + \gamma \overrightarrow{OC}$ と表されるとき、なぜ $\alpha + \beta + \gamma = 1$ となるのかを説明する問題です。

1. 問題の内容

四面体OABCがあり、点Oから平面ABCに下ろした垂線の足をHとします。ベクトル $\overrightarrow{OH}$ は $\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}$ を用いて $\overrightarrow{OH} = \alpha \overrightarrow{OA} + \beta \overrightarrow{OB} + \gamma \overrightarrow{OC}$ と表されるとき、なぜ $\alpha + \beta + \gamma = 1$ となるのかを説明する問題です。

2. 解き方の手順

平面ABC上の点は、ベクトル $\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}$ を用いて表すことができます。具体的には、点Pが平面ABC上にあるとき、実数 $s, t, u$ が存在して、

$$\overrightarrow{OP} = s \overrightarrow{OA} + t \overrightarrow{OB} + u \overrightarrow{OC}$$

と表すことができ、さらに $s + t + u = 1$ が成り立ちます。

点Hは平面ABC上の点であるため、

$$\overrightarrow{OH} = \alpha \overrightarrow{OA} + \beta \overrightarrow{OB} + \gamma \overrightarrow{OC}$$

と表されるとき、$\alpha + \beta + \gamma = 1$ となります。

これは、平面ABCが点A, B, Cを通ることから導かれます。平面ABC上の任意の点Hは、A, B, Cの重心の拡張として表現できるからです。

3. 最終的な答え

点Hが平面ABC上にあるため、$\alpha + \beta + \gamma = 1$ となります。