平面上の異なる2点A, Bがある。点Pが以下の二つの不等式を同時に満たすとき、点Pが存在する範囲を求める。 $ \overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{BP} < 0 $ $ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AP} > \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BP} $

1. 問題の内容

平面上の異なる2点A, Bがある。点Pが以下の二つの不等式を同時に満たすとき、点Pが存在する範囲を求める。

$\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{BP} < 0$

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AP} > \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BP}$

2. 解き方の手順

まず、一つ目の不等式 $\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{BP} < 0$ について考える。

これは、$AP \perp BP$ を含み、$\angle APB$ が鈍角となるPの範囲を表す。

つまり、点Pは線分ABを直径とする円の内部にある。ただし、円周上は除く。

次に、二つ目の不等式 $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AP} > \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BP}$ について考える。

$\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$ であるから、この不等式は

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AP} > - \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BP}$

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AP} + \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BP} > 0$

$\overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AP} + \overrightarrow{BP}) > 0$

ここで、$\overrightarrow{AM} = \frac{\overrightarrow{AP} + \overrightarrow{BP}}{2}$ となる点Mを線分ABの中点とすると、$\overrightarrow{AP} + \overrightarrow{BP} = 2\overrightarrow{AM}$であるから、

$\overrightarrow{AB} \cdot (2\overrightarrow{AM}) > 0$

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AM} > 0$

これは、$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AM}$ のなす角が鋭角であることを意味する。

したがって、点Mは線分ABを垂直に二等分する直線に対して、点B側にある。言い換えると、点Pは線分ABの垂直二等分線に関して、点Bと同じ側にある。

これら2つの条件を同時に満たす領域を図示する。

点Pは、線分ABを直径とする円の内部にあり、かつ線分ABの垂直二等分線に関して点Bと同じ側にある。

したがって、点Pの存在する範囲は、線分ABを直径とする円の内部の、線分ABの垂直二等分線に関して点Bと同じ側にある部分（境界は含まない）。

3. 最終的な答え

点Pの存在する範囲は、線分ABを直径とする円の内部の、線分ABの垂直二等分線に関して点Bと同じ側にある部分（境界は含まない）。