一辺の長さが2の正六角形を$A_1$とし、その面積を$S_1$とする。$A_1$の各辺の中点を頂点とする正六角形を$A_2$とし、その面積を$S_2$とする。 (1) $S_1$と$S_2$を求めよ。 (2) $n=3, 4, 5, \dots$に対して、$A_{n-1}$の各辺の中点を頂点とする正六角形を$A_n$とし、その面積を$S_n$とする。数列$\{S_n\}$の一般項を求めよ。

1. 問題の内容

一辺の長さが2の正六角形を$A_1$とし、その面積を$S_1$とする。$A_1$の各辺の中点を頂点とする正六角形を$A_2$とし、その面積を$S_2$とする。

(1) $S_1$と$S_2$を求めよ。

(2) $n=3, 4, 5, \dots$に対して、$A_{n-1}$の各辺の中点を頂点とする正六角形を$A_n$とし、その面積を$S_n$とする。数列$\{S_n\}$の一般項を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 正六角形は、正三角形6個に分割できる。

一辺の長さが$a$の正三角形の面積は$\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$なので、一辺の長さが$a$の正六角形の面積は$6\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$となる。

したがって、$S_1 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 2^2 = 6\sqrt{3}$である。

次に、$A_2$の一辺の長さを求める。$A_1$の一辺の中点を結んでできる三角形は、直角三角形であり、辺の長さの比が$1:2:\sqrt{3}$である。したがって、$A_2$の一辺の長さは$\sqrt{3}$である。

よって、$S_2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot (\sqrt{3})^2 = \frac{9\sqrt{3}}{2}$である。

(2) $A_n$の一辺の長さを$a_n$とする。

$a_1 = 2$であり、$a_2 = \sqrt{3}$である。

同様に考えると、$a_n$と$a_{n+1}$の間には、$a_{n+1} = \frac{\sqrt{3}}{2}a_n$の関係が成り立つ。

したがって、$a_n$は等比数列であり、$a_n = 2 \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2})^{n-1}$である。

よって、$S_n = \frac{3\sqrt{3}}{2} a_n^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot (2 \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2})^{n-1})^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 4 \cdot (\frac{3}{4})^{n-1} = 6\sqrt{3} \cdot (\frac{3}{4})^{n-1}$となる。

3. 最終的な答え

(1) $S_1 = 6\sqrt{3}$, $S_2 = \frac{9\sqrt{3}}{2}$

(2) $S_n = 6\sqrt{3} \cdot (\frac{3}{4})^{n-1}$