定積分 $\int_{0}^{1} (4^x + e^x) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{1} (4^x + e^x) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分を分けて考えます。

$\int_{0}^{1} (4^x + e^x) dx = \int_{0}^{1} 4^x dx + \int_{0}^{1} e^x dx$

次に、それぞれの積分を計算します。

$4^x$ の積分は、$\int 4^x dx = \frac{4^x}{\ln 4} + C$ です。

$e^x$ の積分は、$\int e^x dx = e^x + C$ です。

したがって、

$\int_{0}^{1} 4^x dx = \left[ \frac{4^x}{\ln 4} \right]_{0}^{1} = \frac{4^1}{\ln 4} - \frac{4^0}{\ln 4} = \frac{4}{\ln 4} - \frac{1}{\ln 4} = \frac{3}{\ln 4}$

$\int_{0}^{1} e^x dx = [e^x]_{0}^{1} = e^1 - e^0 = e - 1$

したがって、元の積分は、

$\int_{0}^{1} (4^x + e^x) dx = \frac{3}{\ln 4} + e - 1$

$\ln 4 = \ln 2^2 = 2 \ln 2$ なので、

$\frac{3}{\ln 4} = \frac{3}{2 \ln 2}$

したがって、

$\frac{3}{2\ln 2} + e - 1$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{\ln 4} + e - 1$

または

$\frac{3}{2\ln 2} + e - 1$