定積分 $\int_{0}^{1} (e^x + 1)^2 dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{1} (e^x + 1)^2 dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を展開します。

$(e^x + 1)^2 = e^{2x} + 2e^x + 1$

次に、各項を積分します。

$\int (e^{2x} + 2e^x + 1) dx = \int e^{2x} dx + \int 2e^x dx + \int 1 dx$

$\int e^{2x} dx = \frac{1}{2}e^{2x} + C_1$

$\int 2e^x dx = 2e^x + C_2$

$\int 1 dx = x + C_3$

したがって、不定積分は次のようになります。

$\int (e^{2x} + 2e^x + 1) dx = \frac{1}{2}e^{2x} + 2e^x + x + C$

ここで、$C = C_1 + C_2 + C_3$ です。

次に、定積分を計算します。

$\int_{0}^{1} (e^{2x} + 2e^x + 1) dx = \left[ \frac{1}{2}e^{2x} + 2e^x + x \right]_{0}^{1}$

$= \left( \frac{1}{2}e^{2(1)} + 2e^{1} + 1 \right) - \left( \frac{1}{2}e^{2(0)} + 2e^{0} + 0 \right)$

$= \frac{1}{2}e^2 + 2e + 1 - \frac{1}{2}e^0 - 2e^0 - 0$

$= \frac{1}{2}e^2 + 2e + 1 - \frac{1}{2} - 2$

$= \frac{1}{2}e^2 + 2e - \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}e^2 + 2e - \frac{3}{2}$