平行四辺形ABCDにおいて、$AB=12$cm, $BC=10$cm, $\angle ABC = 45^\circ$であり、辺$AD$の中点を$M$, 辺$CD$上に$CE:ED=1:2$となる点$E$をとる。直線$AE$と直線$BM$の交点を$F$, 直線$AE$と直線$BC$の交点を$G$とする。 (1) $AF:FG$を求める。 (2) $\triangle AGM$の面積を求める。 (3) 四角形$BCEF$の面積を求める。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、$AB=12$cm, $BC=10$cm, $\angle ABC = 45^\circ$であり、辺$AD$の中点を$M$, 辺$CD$上に$CE:ED=1:2$となる点$E$をとる。直線$AE$と直線$BM$の交点を$F$, 直線$AE$と直線$BC$の交点を$G$とする。

(1) $AF:FG$を求める。

(2) $\triangle AGM$の面積を求める。

(3) 四角形$BCEF$の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$\triangle AFD$と$\triangle EGC$において,

$AD // BC$より、$\angle DAF = \angle GCB$ , $\angle ADF = \angle CBG$.

また、平行四辺形より、$AD=BC = 10$cm.

$CE:ED = 1:2$より, $CE = \frac{1}{3}CD = \frac{1}{3}AB = \frac{12}{3} = 4$cm.

$\triangle AFE$と$\triangle CGE$において, $\angle AFE = \angle CGE$ (対頂角).

$AE$に関して, $\angle FAE = \angle GCE$ (錯角).

したがって、$\triangle AFE \sim \triangle CGE$.

$AF : CG = AE:CE$

$AB//CD$より、$AB//CE$よって、$\triangle ABG \sim \triangle ECG$.

よって、$AG : EG = BG : CG = AB : CE = 12 : 4 = 3:1$

したがって, $AG = 3EG$. また、$AE = AG - EG = 3EG - EG = 2EG$

$AE : CG = AE:CE$, $AF:FG$を求めたいので、メネラウスの定理を用いる。

$\triangle BCG$に直線$AE$について,

$\frac{BA}{AG} \cdot \frac{GE}{EC} \cdot \frac{CF}{FB} = 1$

$\frac{12}{AG} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{CF}{FB} = 1$

$\frac{CF}{FB} = \frac{AG}{4}$

$\triangle ADM$において、直線$BF$について考える

$\frac{AF}{FM} \cdot \frac{MB}{BD} \cdot \frac{DC}{CA} = 1$

$\triangle AEM$において、直線$BG$を考えると、メネラウスの定理より、

$\frac{AG}{GE} \times \frac{EC}{CM} \times \frac{MB}{BA} = 1$

平行四辺形ABCDの辺ADの中点をMとするとAM = MD =

5. CE:ED = 1:2だからCD = 12よりCE = 4, ED =

8. $\triangle ABM$において直線FEを考えると、メネラウスの定理より、

$\frac{AF}{FE} \times \frac{EC}{CB} \times \frac{BG}{GA} = 1$

$\frac{AF}{FE} \times \frac{4}{10} \times \frac{BG}{GA} = 1$

直線BMに関して，$\triangle AEG$にメネラウスの定理を用いると，

$\frac{BG}{GC} \cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{AF}{FG} = 1$

平行四辺形$ABCD$より、$AB//CD$なので, $\triangle ABG \sim \triangle ECG$.

$AB=12$, $CE=4$なので、$BG:GC = AB:EC = 12:4 = 3:1$

したがって, $BG = 3GC$.

$\frac{3}{1} \cdot \frac{4}{EA} \cdot \frac{AF}{FG} = 1$

$EA = EC + CA = 4 + 10 = 14$

$\frac{12}{14} \cdot \frac{AF}{FG} = 1$

$\frac{AF}{FG} = \frac{14}{12} = \frac{7}{6}$

$AF:FG = 7:6$

(2) 平行四辺形ABCDの面積は $AB \cdot BC \cdot \sin(45^\circ) = 12 \cdot 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 60\sqrt{2}$.

$\triangle ABC = \frac{1}{2} \times 60\sqrt{2} = 30\sqrt{2}$.

$AM = 5$, $AD = 10$. $\triangle AMC = \frac{1}{2} \triangle ADC = \frac{1}{4} \times \text{平行四辺形} ABCD = \frac{60\sqrt{2}}{4} = 15\sqrt{2}$.

(3)

3. 最終的な答え

(1) 7 : 6

(2)

(3)