一辺が6cmの立方体ABCD-EFGHがある。 (1) ∠CAEと∠CAFの大小関係を答える。 (2) 四面体ABCFの体積を求める。 (3) 四面体ACFHの体積を求める。

1. 問題の内容

一辺が6cmの立方体ABCD-EFGHがある。

(1) ∠CAEと∠CAFの大小関係を答える。

(2) 四面体ABCFの体積を求める。

(3) 四面体ACFHの体積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 立方体の性質より、AEとCFは平行であり、AC=AFである。よって、三角形ACEと三角形ACFは二等辺三角形である。また、AE < AFなので、∠ACE > ∠ACFとなる。

∠CAEと∠CAFを比較すると、∠CAEはAEを底辺とした二等辺三角形の頂角の半分であり、∠CAFはAFを底辺とした二等辺三角形の頂角の半分である。

AF > AEなので、∠CAF > ∠CAEとなる。

(2) 四面体ABCFは、底面が直角三角形ABCで、高さがBFの三角錐である。

三角形ABCの面積は、$\frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times 6 \times 6 = 18$ cm$^2$。

四面体ABCFの体積は、$\frac{1}{3} \times 18 \times 6 = 36$ cm$^3$。

(3) 四面体ACFHは、立方体から4つの合同な三角錐（四面体ABCF, 四面体ADCH, 四面体EFHA, 四面体CGHF)を取り除いたものである。

立方体の体積は $6 \times 6 \times 6 = 216$ cm$^3$。

三角錐ABCFの体積は(2)より36cm$^3$である。

四面体ACFHの体積は、$216 - 4 \times 36 = 216 - 144 = 72$ cm$^3$。

3. 最終的な答え

(1) イ

(2) 36 cm$^3$

(3) 72 cm$^3$